发布时间 : 星期四 文章十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题12 平面解析几何解答题(新课标Ⅰ卷)(解析版)更新完毕开始阅读
综上所述，三角形MON的面积为5. 5x2y232)，7．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，F是椭圆C的一个焦点．点M(0,直线MF的ab2斜率为
6． 3（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且AB＝MN．求l的方程．
x2y22【答案】（1）（2）y????1；x?2
822【解析】
?c???a（1）由题意，可得??2???c3??a?222，解得?，则b2?a2-c2=2， 6??c?63x2y2故椭圆C的方程为??1．
82MN=2，AB?MN，不合题意，故l的斜率存在． （2）当l的斜率不存在时，AB=42，?x2y2?1??22设l的方程为y?kx?2，联立?8，得(1?4k)x?16kx?8＝0， 2?y?kx?2?16k8,xx?， 12221?4k1?4k1??(16k)2?32?1?4k2??128k2?32?0即k2?，
4x?x28k??设N(x0，y0)，则x0?1， 221?4k设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1?x2??Q|AB|?|MN|,?1?k2x1?x2?1?k2x0?0
则
?x1?x2?228k424k2?1 ?4x1x2?x0，即||?221?4k1?4k整理得k?1122?．故k??，l的方程为y??x?2． 2422x2y28．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点23,?3，右焦点F是抛物线y2?8x的焦点.
ab??（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C分别交于M，N两点.试问x轴上是否存在定点Q，使得
uuuuruuur135QM?QN??恒成立?若存在求出点Q的坐标若不存在，说明理由.
16x2y2【答案】(1) ??1 (2)见解析
1612【解析】
（1）因为椭圆C过点(23,?3)，所以又抛物线的焦点为?2,0?，所以c?2. 所以
123?2?1， 2ab123??1，解得a2?3（舍去）或a2?16. 22aa?4x2y2所以椭圆C的方程为??1.
1612（2）假设在x轴上存在定点Q(m,0)，使得QM?QN??uuuuruuuruuuuruuurM(2,3)N(2,?3)①当直线l的斜率不存在时，则，，QM?(2?m,3)，QN?(2?m,?3)，
135. 16uuuuruuur5135112由QM?QN?(2?m)?9??，解得m?或m?；
4416uuuur②当直线l的斜率为0时，则M(?4,0)，N(4,0)，QM?(?4?m,0)，QN?(4?m,0)，
uuuruuuuruuur13511112由QM?QN?m?16??，解得m??或m?.
4164由①②可得m?11?11?，即点Q的坐标为?,0?. 4?4?uuuuruuur13511下面证明当m?时，QM?QN??恒成立.
416当直线l的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.
当直线l的斜率存在且不为0时，设其方程为y?k(x?2)(k?0)，M?x1,y1?，N?x2,y2?.直线与椭圆联立得3?4k?2?x2?16k2x?16?k2?3??0，
16k2?316k2直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且x1?x2?，xx?. 21224k?34k?3??y1y2?k?x1?2??k?x2?2??k2x1x2?2k2?x1?x2??4k2，
uuuuruuur?11??11?11121?y1y2 所以QM?QN??x1?,y1???x2?,y2??x1x2??x1?x2??44416????216k?3??211?16k2121?11121??2222??1?k?x1x2??2k???x1?x2???4k??1?k???2k??2??4k2?24?164k?3?4?4k?316??135恒成立 16uuuuruuur135?11?,0?，使得QM?QN??恒成立. 416??综上所述，在x轴上存在点Q?x2y29．关于椭圆的切线由下列结论：若P(x1,y1)是椭圆2?2?1(a?b?0)上的一点，则过点P的椭圆的
abx1xy1yx2y2切线方程为2?2?1.已知椭圆C:??1.
ab43(1)利用上述结论，求过椭圆C上的点P(1,n)(n?0)的切线方程；
(2)若M是直线x?4上任一点，过点M作椭圆C的两条切线MA，MB（A，B为切点），设椭圆的右焦点为F，求证：MF?AB.
【答案】（1）x?2y?4?0（2）见证明 【解析】
33x2y2y?(1)由题意，将x?1代入椭圆方程C:，得，所以P(1,)， ??122433y所以过椭圆C上的点P(1,)的切线方程为x2，即x?2y?4?0.
??12343(2)设M(4,t)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
x1xy1yxxyy??1，2?2?1， 4343x?4y1t4?x2y2t??1，??1， 因为M(4,t)在两条切线上，?143434xytty??1上，即直线AB的方程为x??1， 所以A，B两点均在直线433则过A，B两点的椭圆C的切线MA，MB的方程分别为
当t?0时，kAB??， 又F(1,0)，kMF3tt?0t3t??，kAB?kMF?????1，所以MF?AB， 4?13t3若t?0，点M(4,0)在x轴上，A，B两点关于x轴对称，显然MF?AB.
1x2y210．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为椭圆上一动点（异
2ab于左右顶点），若△AF1F2面积的最大值为3． （1）求椭圆C的方程；
uuuruuurx（2）若直线l过点F1交椭圆C于A,B两点，问在轴上是否存在一点Q，使得QA?QB为定值？若存在，
求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
x2y2【答案】（1）??1（2）见解析
43【解析】
（1）由题意，当P在上或下顶点时，?PF1F2的面积取值最大值，即最大值为bc?3， 又
c1?，且a2?c2?b2，解得a2?4，b2?3， a2x2y2故椭圆C的方程为??1．
43,0?，设直线l的方程为x?my?1，A?x1,y1?,B?x2,y2?,Q?x0,0?， （2）易知F1??1?x2y2?1??22联立方程组?4，整理得(3m?4)y?6my?9?0， 3?x?my?1?则y1?y2?uuuruuurQA?QB??x1?x0,y1???x2?x0,y2???x1?x0??x2?x0??yyy2
2?x1x2?x0?x0?x1?x2??y1y2，
96myy??，， 12223m?43m?4∵x1?my1?1，x2?my2?1，
15m2∴x1x2??my1?1??my2?1??my1y2?1?m?y1?y2??1?， 23m?42