发布时间 : 星期五 文章十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题12 平面解析几何解答题(新课标Ⅰ卷)(解析版)更新完毕开始阅读
x23y2230 【答案】(1) ??1 (2)
443【解析】
（1）∵AC?BC?0，∴?ACB?90?，
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur∵|OC?OB|?2|AB?BC|．即|BC|?2|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形， ∵A?2,0?，∴C?1,1?， 而点C在椭圆上，∴
4112b???1，，∴， a?2a2b23x23y2∴所求椭圆方程为??1．
44（2）对于椭圆上两点P，Q， ∵?PCQ的平分线总是垂直于x轴， ∴PC与CQ所在直线关于x?1对称，
kPC?k，则kCQ??k，
∵C?1,1?，∴PC的直线方程为y?k?x?1??1，①
QC的直线方程为y??k?x?1??1，②
x23y2222将①代入??1，得?1?3k?x?6k?k?1?x?3k?6k?1?0，③
44∵C?1,1?在椭圆上，∴x?1是方程③的一个根，
3k2?6k?1∴xP?， 21?3k3k2?6k?1以?k替换k，得到xQ?． 23k?1∴kPQ?k?xP?xQ??2kxP?xQ?1， 3∵?ACB?90o，A?2,0?，C?1,1?，弦BC过椭圆的中心O，
∴A?2,0?，B??1,?1?，∴kAB?∴kPQ?kAB，∴PQ∥AB，
1， 3∴存在实数?，使得PQ??AB，
uuuruuur16023022uuur???12k???4k??1|PQ|????3， 22?2?9k??6?1?3k??1?3k?k2当9k?213时，即时取等号， k??2k3uuur230， |PQ|max?3uuur又|AB|?10，
?23023 ，
?3?310max∴?取得最大值时的PQ的长为230． 35．已知抛物线y2?16x，过抛物线焦点F的直线l分别交抛物线与圆(x?4)2?y2?16于A,C,D,B（自上而下顺次）四点.
（1）求证：|AC|?|BD|为定值； （2）求|AB|?|AF|的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】
（1）有题意可知，F(4,0)
可设直线l的方程为x?my?4，A(x1,y1),B(x2,y2)
?y2?16x2联立直线和抛物线方程?，消x可得y?16my?64?0，
?x?my?4所以y1?y2?16m，y1y2??64， 由抛物线的定义可知，|AF|?x1?p?x1?4,|BF|?x2?4， 2又|AC|?|AF|?4,|BD|?|BF|?4，
2y12y2642所以|AC|?|BD|?(|AF|?4)(|BF|?4)?x1x2???2?16，
161616所以|AC|?|BD|为定值16.
（2）由（1）可知，|AB|?|AF|?|BF|?x1?x2?8，|AF|?x1?4，
|AB|?|AF|?(x1?x2?8)(x1?4)?x12?x1x2?12x1?4x2?32，
由x1x2?16，可得x2?16， x12所以|AB|?|AF|?x1?12x1?64?48（其中x1>0）， x164642(x?2)(x?4)2?48，f?(x)?2x?12?2?令f(x)?x?12x?， 2xxx2当x?(0,2)时，f?(x)?0，函数单调递减，当x?(2,??)时，f?(x)?0，函数单调递增， 所以f(x)?f(2)?108. 所以|AB|?|AF|的最小值为108.
uuuruuur6．已知O为坐标原点，点A??2,0?，B?2,0?，AC?AD?25,CB??CD?0???1?，过点B作AC的平行线交AD于点E.设点E的轨迹为?. （Ⅰ）求曲线?的方程；
（Ⅱ）已知直线l与圆O:x?y?1相切于点M，且与曲线?相交于P，Q两点，PQ的中点为N，求
22三角形MON面积的最大值.
x25【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）. ?y2?1?y?0?；
55【解析】
（Ⅰ）因为AD?AC,EB∥AC， 故?EBD??ACD??ADC， 所以EB?ED，
故EA?EB?EA?ED?AD?25，
x2由题设得A??2,0?，B?2,0?，AB?4，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：?y2?1?y?0?.
5（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为y?kx?m， 因为直线l与圆O相切， 所以|m|1?k2?1，∴m2?1?k2，
?x22??y?1,222由?5消去y得?1?5k?x?10kmx?5m?5?0. ?y?kx?m,?设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，由韦达定理知：
x1?x2??10km2m，y?y?kx?x?2m?. ??12121?5k21?5k2m??5km,22?，
?1?5k1?5k?m1?5km???x???，
1?5k2k?1?5k2?所以PQ中点N的坐标为??所以弦PQ的垂直平分线方程为y?即 x?ky?4km?0.
1?5k24km1?5k2. 1?k24km1?5k2得 1?k241?5|k||k|421?5|k||k|25530（当且仅当k?，即m?时，取555所以
MN?将m?1?k2代入MN?MN?4km1?5k21?k2?4k1?5k2???等号）.
所以三角形MON的面积为S?11255， ?OM?MN≤?1?=2255