发布时间 : 星期四 文章2020年高考模拟山东省淄博市部分学校高考数学二模考试试卷 含解析更新完毕开始阅读
第（2）题运用错位相减法计算出数列{an}的前n项和Sn． 【解答】（1）证明：当n≥2时，由an＝两边同时乘以2n，可得2nan＝2n﹣1an﹣1+2，
﹣
即2nan﹣2n1an﹣1＝2（n≥2）．
+，
∵21a1＝2×＝3，
∴数列{2nan}是以3为首项，2为公差的等差数列． ∴2nan＝3+2（n﹣1）＝2n+1， ∴an＝
，n∈N*．
（2）解：由（1），可知， Sn＝a1+a2+…+an＝Sn＝
+
+…+
+
++
+…+，
+
，
两式相减，可得： Sn＝++
+…+
﹣
＝+﹣
＝﹣∴Sn＝5﹣
， ．
sinA+cosA＝0．
18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足有三个条件：①a＝1；②b＝
；③S△ABC＝
．
其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题： （1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 【分析】（1）先根据条件求出A＝
，所以A为钝角，与a＝1＜b＝
矛盾，所以
①②中仅有一个正确，③一定正确，再分情况讨论，即可得到c的值． （2）利用
得到
，从而求出△ABD的面积．
解：（1）∵∴A＝
，
sinA+cosA＝0．∴2sin（A+）＝0，又A∈（0，π），
∵A为钝角，与a＝1＜b＝矛盾，
∴①②中仅有一个正确，③一定正确， ∴S△ABC＝∴bc＝
，
＝
，
当①③正确时， 由cosA＝当②③正确时， ∵bc＝
，b＝
，∴c＝1，经检验成立，
得：b2+c2＝﹣2，无解，故不符合题意，
综上所述，c＝1； （2）如图所示： ∵
，∠DAC＝
，∴
，
∴＝，
∴∴S△ABD＝
，
．
19．图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE ＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小．
【分析】（1）推导出AD∥BE，CG∥BE，从而AD∥CG，由此能证明A，C，G，D四点共面，推导出AB⊥BE，AB⊥BC，从而AB⊥面BCGE，由此能证明平面ABC⊥平面BCGE．
（2）作EH⊥BC，垂足为H，以H为坐标原点，
的方向为x轴正方向，建立空间直
角坐标系H﹣xyz，运用空间向量方法求二面角B﹣CG﹣A的大小． 【解答】证明：（1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，∴AD∥CG， ∴AD，CG确定一个平面， ∴A，C，G，D四点共面，
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，∴AB⊥面BCGE， ∵AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCGE． 解：（2）作EH⊥BC，垂足为H，
∵EH?平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC， ∴EH⊥平面ABC，
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°， ∴BH＝1，EH＝以H为坐标原点，
，
的方向为x轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系H﹣xyz，
），
则A（﹣1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，＝（1，0，
），
＝（2，﹣1，0），
设平面ACGD的法向量＝（x，y，z）， 则
，取x＝3，得＝（3，6，﹣
），
又平面BCGE的法向量为＝（0，1，0），
∴cos＜＞＝＝，
∴二面角B﹣CG﹣A的大小为30°．
20．已知椭圆C：9x2+y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论． （2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM，建立方程关系即可得到结论．
解：（1）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
将y＝kx+b代入9x2+y2＝m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2＝0， 则判别式△＝4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0， 则x1+x2＝
，则xM＝
＝
，yM＝kxM+b＝
，
于是直线OM的斜率kOM＝即kOM?k＝﹣9，
＝，
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值． （2）四边形OAPB能为平行四边形． ∵直线l过点（，m），
∴由判别式△＝4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，