发布时间 : 星期六 文章复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案更新完毕开始阅读
(1)0?z?1?1,(2)0?z?1,(3)1?z??
五.(本题10分)用Laplace变换求解常微分方程定解问题
?y??(x)?5y?(x)?4y(x)?e?x??y(0)?y?(0)?1
六、(本题8分)求
??
f(t)?e??t(??0)的傅立叶变换,并由此证明:
cos?t???td??e22?2?0????复变函数与积分变换?期末试题简答及评分标准(B)
一.填空题(每小题3分,共计15分)
1?i?的幅角是( ??2k?,k?0?1,?2,? );2.Ln(?1?i)的主值是241.
1?(ln2?i );3. 241(7)f(z)?f(0)?( 0 );,
1?z24.f(z)?z?sinz1Res[f(z),0]?f(z)? ,( 0 ) ;5. ,
z2z3Res[f(z),?]?( 0 );
二.选择题(每小题3分,共计15分)
1----5 A A C C C
三.按要求完成下列各题(每小题10分,共计40分)
(1)求a,b,c,d使f(z)?x?axy?by?i(cx?dxy?y)是解析函数,
2222解:因为f(z)解析,由C-R条件
?u?v?u?v??? ?x?y?y?x最新范本,供参考!
2x?ay?dx?2yax?2by??2cx?dy,
a?2,d?2,,a??2c,2b??d,c??1,b??1,
给出C-R条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。 (2).
?C1dz.其中C是正向圆周z2z(z?1)?2;
解:本题可以用柯西公式\\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程 因为函数f(z)?1在复平面内只有两个奇点z1?0,z2?1,分别以z1,z22(z?1)z为圆心画互不相交互不包含的小圆
c1,c2且位于c内
1?C(z?1)2zdz??C111(z?1)2zdz??dz 2C2z(z?1)11??2?i()?2?izz?1(z?1)213z?0
z?0zedz,其中C是正向圆周z?2; (3).计算?C(1?z)解:设f(z)在有限复平面内所有奇点均在:z?2内,由留数定理
?z?2f(z)dz??2?iRes[f(z),?]?2?ic?1 -----(5分)
12z1?z??13zzeze1111112????z(1?????)(1??2?3??) 231(1?z)z2!z3!zzzz1?z??(z2?z?111111???)(1?????) 2232!3!z4!zzzz811c?1??(1?1??)??
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?z?28f(z)dz??2?i
3(z2?1)(z?2)3(4)函数f(z)?在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有3(sin?z)极点,请指出它的级.
f(z)的奇点为z?k,k?0,?1,?2,?3,?,?
3z?k,k?0,?1,?2,?3,?为(sin?z)?0的三级零点,
z??1,为f(z)的二级极点,z??2是f(z)的可去奇点, z?0,2,?3,?4?,为f(z)的三级极点; ?为f(z)的非孤立奇点。
给出全部奇点给5分。其他酌情给分。 四、(本题14分)将函数f(z)?1在以下区域内展开成罗朗级数;
z2(z?1)(1)0?z?1?1,(2)0?z?1,(3)1?z??
(1)0?z?1?1,(2)0?z?1,(3)1?z??
解:(1)当0?z?1?1
f(z)?111?[]? 2z(z?1)(z?1)(1?(z?1)??1n]??[?(z?1)]???n(z?1)n?1 而[(1?(z?1)n?0n?0f(z)??n(z?1)n?2 --------6分
n?0?(2)当0?z?1
11f(z)?2=
z(z?1)z2?nn(?1)z ?n?0???(?1)zn?2 -----10分
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(3)当1?z??
f(z)?11?z2(z?1)z3(1?1)
z?1n1n(?)??(?1)n?3 --------14分 ?zzn?0n?0?1f(z)?3z五.(本题10分)用Laplace变换求解常微分方程定解问题
?y??(x)?2y?(x)?3y(x)?e?x?
?y(0)?0,y(0)?1?解:对y(x)的Laplace
变换记做L(s),依据Laplace变换性质有
1 …(5分) s?1s2L(s)?1?2sL(s)?3L(s)?整理得
L(s)?s?2 …(7分)
(s?1)(s?1)(s?4)131y(x)??e?x?ex?e?3x …(10分)
488
得分 六、(本题6分)求
?1t?1f(t)??的傅立叶变换,并由此证明:
t?10???t?1??2?sin?cos?td????4t?1? ?0?0t?1?解:F(?)??????e?i?tf(t)dt
F(?)??e?i?tdt -------2分
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