发布时间 : 星期二 文章华罗庚学校数学课本四年级(上)更新完毕开始阅读
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在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？ 分析与解答
不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原图顺时针转动45°，就成为三角阵（如右图），三角阵中，第1行1个数，第2行2个数…第n行就有n个数，设1993在三角阵中的第n行，则：
1+2+3+…+n-1＜1993≤1+2+3+…+n
即：n×（n-1）÷2＜1993≤n×（n+1）÷2 用试值的方法，可以求出n=63.
又因为1+2+…+62=1953，即第62行中最大的数为
1953.三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数（若从右开始数，则为第24个数）. 把三角阵与左图作比较，可以发现：
①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列. ②三角阵中每一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行. 由此，我们可知，1993位于原图的24行40列.
习题四
1.求值：
① 6+11+16+…+501.
② 101+102+103+104+…+999.
2.下面的算式是按一定规律排列的，那么，第100个算式的得数是多少？ 4+2，5+8，6+14，7+20，…
3.11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和，这另外8个连续自然数中的最小数是多少？
4.把100根小棒分成10堆，每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何分？
5.300到400之间能被7整除的各数之和是多少？
6.100到200之间不能被3整除的数之和是多少？
7.把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？
8.下表是一个数字方阵，求表中所有数之和. 1，2，3，4，5，6…98，99，100 2，3，4，5，6，7…99，100，101 3，4，5，6，7，8…100，101，102
100，101，102，103，104，105…197，198，199
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第五讲 倒推法的妙用
在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题. 例1 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？
分析 这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.
如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？
把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式： ｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.
如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解. 解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56 ［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4
答：于昆这次数学考试成绩是96分.
通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意： ①从结果出发，逐步向前一步一步推理.
②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算. ③列式时注意运算顺序，正确使用括号. 例2 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？
分析 马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题. 解：111－（70—10）＋（7—1）＝57 答：正确的答案是57.
例3 树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？
分析 倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16—6＝10（只）.同理，第二棵树上原有鸟16＋6—8＝14（只）.第一棵树上原落鸟16＋8＝24（只），使问题得解. 解：①现在三棵树上各有鸟多少只？48÷3＝16（只） ②第一棵树上原有鸟只数. 16＋8＝24（只） ③第二棵树上原有鸟只数.16＋6—8＝14（只） ④第三棵树上原有鸟只数.16—6＝10（只）
答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.
例4 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？ 分析 依题意，画图进行分析.
解：列综合算式： ｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2 ＝22（个）
答：篮子里原有梨22个.
例5 甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？
分析 解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.
求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克. 解：①甲乙两桶油共剩多少千克？ 15×2-14＝16（千克）
②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克）
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③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克） 用倒推法画图如下：
④从甲桶卖出油多少千克？ 15-11＝4（千克） ⑤从乙桶卖出油多少千克？ 15—5＝10（千克） 答：从甲桶卖出油4千克，从乙桶卖出油10千克.
例6 菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？ 分析 解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量关系清晰的展现出来. 解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600（千克） ②第二天运进200千克后的一半是多少千克？ 600＋30＝630（千克）
③第二天运进200千克后有白菜多少千克？ 630×2＝1260（千克）
④原来的一半是多少千克？1260—200＝1060（千克） ⑤原有贮存多少千克？1060×2＝2120（千克） 答：菜站原来贮存大白菜2120千克. 综合算式： ［（1800÷3＋30）×2—200］×2 ＝2120（千克）
答：菜站原有冬贮大白菜2120千克.
习题五
1.某数除以4，乘以5，再除以6，结果是615，求某数.
2.生产一批零件共560个，师徒二人合作用4天做完.已知师傅每天生产零件的个数是徒弟的3倍.师徒二人每天各生产零件多少个？
3.有砖26块，兄弟二人争着挑.弟弟抢在前，刚刚摆好砖，哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块.这时哥哥比弟弟多2块.问：最初弟弟准备挑几块砖？
4.阿凡提去赶集，他用钱的一半买肉，再用余下钱的一半买鱼，又用剩下钱买菜.别人问他带多少钱，他说：“买菜的钱是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加7、加9加10加11。”你知道阿凡提一共带了多少钱？买鱼用了多少钱？
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第六讲 行程问题（一）
我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.
在对小学数学的学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，并且已经了解到：上述三个量之间存在这样的基本关系：路程＝速度×时间.因此，在这一讲中，我们将在前面学习的基础上，主要来研究行程问题中较为复杂的一类问题——反向运动问题，也即在同一道路上的两个运动物体作方向相反的运动的问题.它又包括相遇问题和相背问题.所谓相遇问题，指的就是上述两个物体以不同的点作为起点作相向运动的问题；所谓相背问题，指的就是这两个运动物体以同一点作为起点作背向运动的问题，下面，我们来具体看几个例子.
例1 甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：二人几小时后相遇？
分析 出发时甲、乙二人相距30千米，以后两人的距离每小时都缩短6＋4＝10（千米），即两人的速度的和（简称速度和），所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇. 解：30÷（6＋4） ＝30÷10 ＝3（小时）
答：3小时后两人相遇.
例1是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个基本数量关系： 路程＝速度和×时间.
例2 一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？
分析 货车每小时行45千米，客车每小时比货车快15千米，所以，客车速度为每小时（45＋15）千米；中午12点两车相遇时，货车已行了（12—6）小时，而客车已行（12—6－2）小时，这样就可求出甲、乙两地之间的路程.最后，再来求当客车行完全程到达甲地时，货车离乙地的距离. 解：①甲、乙两地之间的距离是：
45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2） ＝45×6＋60×4 ＝510（千米）.
②客车行完全程所需的时间是： 510÷（45＋15） ＝510÷60 ＝8.5（小时）.
③客车到甲地时，货车离乙地的距离： 510—45×（8.5＋2） ＝510－472.5 ＝37.5（千米）.
答：客车到甲地时，货车离乙地还有37.5千米.
例3 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长. 分析 首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10（米），乙车的速度是每秒钟54000÷3600＝15（米）.本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（10＋15）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10＋15）×14＝350（米）.又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和. 解：（10＋15）×14 ＝350（米）
答：乙车的车长为350米.
我们也可以把例3称为一个相背运动问题，对于相背问题而言，相遇问题中的基本关系仍然成立. 例4 甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？
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