发布时间 : 星期四 文章专题2.2 函数的单调性与最值（讲）-2020年高考数学（文）一轮复习讲练测 Word版含解析更新完毕开始阅读
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专题2.2 函数的单调性与最值
1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
知识点一 函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
知识点二 函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈I，都有条件 f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 【特别提醒】
1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝
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的单调性相反. f（x）
M为最大值 (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M M为最小值 自左向右看图象是下降的 2
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a
2.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，(0，a].
x
考点一 判断函数的单调性
【典例1】【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+?）上单调递增的是（ ） A．y?x C．y?log1x
212
B．y=2?x D．y?1 x【答案】A
【解析】易知函数y?2,y?log1x，y?
212?x1
在区间(0,??)上单调递减， x
函数y?x在区间(0,??)上单调递增. 故选A.
【方法技巧】函数不含有参数．解决此类问题时，首先确定定义域，然后利用单调性的定义或借助图象求解即可。
【变式1】（2019·黑龙江大庆实验中学模拟）函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( ) A．(－∞，－2) C．(1，＋∞) 【答案】D
【解析】函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．
考点二 确定含参函数的单调性(区间)
ax
【典例2】（2019·大连二十四中模拟） 讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
x－1【解析】方法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1， 1?x－1＋1???1＋f(x)＝a?， ?＝a
?x－1??x－1?11
则f(x1)－f(x2)＝a?1＋x－1?－a?1＋x－1?
????12＝
a(x2－x1)
.
(x1－1) (x2－1)
B．(－∞，1) D．(4，＋∞)
由于－1＜x1＜x2＜1，
2
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所以x2－x1>0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递增。 方法二：(导数法)f′(x)＝
(ax)′(x－1)－ax(x－1)′a(x－1)－axa
＝＝－ 22(x－1)(x－1)(x－1)2当a>0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a＜0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增。
【方法技巧】判断函数单调性常用以下几种方法：
(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．
(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；
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【变式2】（2019·安徽蚌埠二中模拟）判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1 x1 【解析】函数f(x)＝ax2＋(1 x证明：设1≤x1 f(x2)－f(x1)＝ax22＋－ax1－ x2x11?a(x1＋x2)－＝(x2－x1) ?x1x2?， ?由1≤x1 1 又因为1 得a(x1＋x2)－>0， x1x2 从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增． 2 1 考点三 解函数不等式 ?1??＜f(1)的实数x【典例3】（2019·山东潍坊一中模拟） 已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f???x?? 的取值范围是( ) A．(－1,1) C．(－1,0)∪(0,1) 【答案】C 1?????>1，?|x|＜1，1????x??【解析】由f(x)为R上的减函数且f??x??＜f(1)，得?即?所以－1＜x＜0或0＜x＜1. ?x≠0.???x≠0， B．(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 故选C. 【方法技巧】求解函数不等式问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用． 【变式3】（2019·广东深圳中学模拟）设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是( ) A．{x|－3 【解析】∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0， ∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0. ∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数， ∴当0 则不等式f(x)<0的解集是{x|0 ???3a－1?x＋4a，x＜1， 【典例4】（2019·重庆南开中学模拟）若f(x)＝?是定义在R上的减函数，则 ?－ax，x≥1? a的取值范围为________． 2