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初四学案15
学习内容：第四章 圆全章复习
学习目标：1、了解并掌握圆的相关概念、性质、定理 2、运用性质、定理灵活解题 知识点拨：
1、对称性，b：旋转不变性 a：圆的对称性
2、三个角：圆心角、圆周角，以及圆内接四边形的外角（对角）这是在有关圆的问题中，找角相等必不可少的方法。
3、三个垂直：垂径定理，直径所对的圆周角，切线的性质它可以有效的把许多问题转化到直角三角形中，使问题得以解决。
4、四大关系：点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆与正多边形的关系，掌握切线的判定和性质以及有关计算是重点。 方法点拨
1、圆内见到题目现找一下有没有直角，没有直角想方设法创设直角
2、当题目不好计算或证明时，换个思路曲线、线段、弧之间相互转化一下
例2、已知，如图6，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=15. （1）求证：AM·MB=EM·MC；
（2）求EM的长； （3）求sin∠EOB的值
一、遇到弦时，常作弦心距、或者垂直于弦的半径（或直径），再连接圆心和弦的端点。
作用：1、利用垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质。2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系。
例1：在半径为10cm的圆柱形油管内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB=16cm，则油的最大深度为 cm 通过辅助线突破圆的难点
例1
例2
1
例3
二、遇到直径时，常作直径所对的圆周角，作用：利用直径所对的圆周角是直角
例2：如图、AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°、∠D= 50°∠CEB=
三、遇到90°的圆周角时，常作圆周角所对的弦 作用：90°的圆周角所对的弦是直径
例3如图, 点A、B、C在⊙O上（AC不过O点），若∠ACB=60°,AB=6，⊙O半径= 。
例4：AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,过D作⊙O的切线,交AC于E. 求证:CE = AE
四、遇到切线时，常作经过切点的半径。作用：圆的切线垂直于过切点的半径 例5：如图 AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线CD，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：ED⊥AF
五、遇到证明某一直线是圆的切线时
1、已知直线与圆有公共点时，常连接公共点和圆心。然后证
例5
明这个半径垂直于直线，简称为“连半径，证垂直”。
2、若直线是否与圆有公共点没有明确指出时，常过圆心作直线的垂线段。然后证明垂线段的长等于半径，简称为“作垂直，证半径”。
例6：如图点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD、∠D=30° （1） 求证：CD是⊙O的切线 （2） 若⊙O的半径为3，求BC的长（结果保留?）
例6 六、遇到两圆相切时，常作公切线和连心线
作用：1、利用相切的性质。 2、相切两圆的连心线，必经过切点
例7：如图所示，图中各圆两两相切，⊙O的半径为6，⊙A和⊙B的半径相等，求⊙C的半径
七、遇到两圆相交时，常作公共弦和连心线
作用：1、利用圆内接四边形的性质。 2、相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
例8：如图、⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，直线AO1交⊙O1于点C，交⊙O2 与点D，CB的延长线交⊙O2于点E，连接DE，已知CD=4、DE=3，求CE的长
2
八、遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段
例9如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，
求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．
实战演练 一、选择题
1、如图，点A、B、C在圆心O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC=（ ）
第1题
第3题
第4题
第5题
2、以Rt△ABC的斜边上AB为直径画圆O，那么点C与圆O的位置关系是（ ） A、点C在圆O内 B、点C在圆O上 C、点C在圆O外 D、不能确定 3、如图，直径为10的圆A经过点C（0,5）和点（0,0），B是y轴右侧圆A优弧上一点，则∠OBC的余弦值（ ） A.
B.
C.
D.
4、⊙O1与⊙O2相切与点A，其半径分别为8和4，将圆心O2沿直线O1O2平移到两圆相外切，则点O2移动的长度为（ ）
A、4 B、8 C、16 D、8或16
5、如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦长AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．AB≥8 C．8＜AB≤10 D．8＜AB＜10
二、填空题
1、如图，在⊙O中，∠AOB=90°，则∠ACB=
第1题
第4题
第5题
第8题
2、已知等边三角形ABC是⊙O的内接三角形，则弦BC所对的圆周角的度数为
3
3、A、B是⊙O上的两点，且∠AOB=70°，C是圆上不与A、B重合的任意一点，则∠ACB= 4、如图，△ABC中，∠C=30°，△ABC外接圆的直径为10cm，AB边的长等于
5、如图，△ABC中，I是内心，∠BIC=130°，则∠A= ，如果I是外心，∠BIC=130°，则∠A=
6、等边三角形ABC的内切圆的面积为9π，则△ABC 的周长为 7、如果直角三角形两直角边长为3、4，则内切圆半径与外接圆半径比为
8、如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O的切线AD，BA⊥DA于点A，BA交半圆于点E，已知BC=10，AD=4，那么直线CE与以点O为圆心，的圆的位置关系是
5为半径2三、解答题
1、如图，△ABC内接于圆O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是圆心O的直径，连接BE，(1)△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．
(2)已知圆O内接△ABC中，AB=21，AC=20，BC边上的高AD=15，则圆O的半径为多少？
2、如图，半径为25的圆O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于
P点，
（1）求证：PA·PB=PC·PD；
（2）设BC中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD； （3）若AB=8，CD=6，求OP的长
3、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，圆O过A，E两点，交AD于点G，交AB于点F， （1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数
4、如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，
ED=4
（1）求证：△ABE∽△ADB； （2）求AB的长；
（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直
4
线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．
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