发布时间 : 星期日 文章2017年—2011年新课标高考数学全国卷1文科数学分类汇编全集（附答案）更新完毕开始阅读
当x?1时，x?1?0，ex?2a?e1?e?0，所以f??x?…0．同理x?1时，f??x??0． 故f?x?的单调增区间为???,???； （ⅲ）当ln??2a??1，即?e?a?0时．令f??x??0，则x?ln??2a?或x?1， 2所以f?x?的单调增区间为??,ln??2a?和?1,???，同理f?x?的单调减区间为ln??2a?,1． 综上所述，当a??????e时，f?x?的单调增区间为???,1?和?ln??2a?,???，单调减区间为?1,ln??2a??； 2当a??e时，f?x?的单调增区间为???,???； 2当?e?a?0时，f?x?的单调增区间为???,ln??2a??和?1,???，单调减区间为?ln??2a?,1?； 20时，f?x?的单调增区间为?1,???，单调减区间为???,1?． 当a…（2）解法一（直接讨论法）：易见f?1???e?0，如（1）中讨论，下面先研究（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）三种情况． ①当a??e时，由f?x?单调性可知，f?ln??2a???f?1??0，故不满足题意； 2e时，f?x?在???,???上单调递增，显然不满足题意； 2②当a??③当?e?a?0时，由f?x?的单调性，可知f?1??f?ln??2a??， 2且fln??2a??ln??2a??2??????2a??a?ln??2a??1??a??ln??2a??2???a?0，故不满足题意；
220， 下面研究a…x当a?0时，f?x???x?2?e，令f?x??0，则x?2，因此f?x?只有1个零点，故舍去；
当a?0时，f?1???e?0，f?2??a?0，所以f?x?在?1,???上有1个零点；
a（i）当0?a?1时，由ln?0，而
2所以f?x?在???,1?上有1个零点；
?a3a??a??a?a?a?f?ln???ln?2??a?ln?1??a?ln2?ln??0，
222???2??2?2?2?2（i i）当a?1时，由?2?0，而f??2????4?e?2?9a?9a?4?0， 2e所以f?x?在???,1?上有1个零点；
可见当a?0时f?x?有两个零点．所以所求a的取值范围为?0,???． 解法二（分离参数法）：显然x?1不是f?x?的零点， 当x?1时，由f?x??0，得a?2?x?x?1?2ex?x?1?．
设g?x??2?x?x?1?xe?x?1?，则问题转化为直线y?a与g?x?图像有两个交点， 22?ex?x?1???x?2??1???， 对g?x?求导得g??x??4?x?1?所以g?x?在???,1?单调递增，在?1,???单调递减．
①当a?0时，若x????,1?，g?x??0，直线y?a与g?x?图像没有交点， 若x??1,???，g?x?单调递减，直线y?a与g?x?图像不可能有两个交点， 故a?0不满足条件；
②若a?0时，取x1?min?1?????13?1?,? ，则g?x1??…a， 2a2??x1?1??而g?2??0?a，结合g?x?在?1,???单调递减， 可知在区间?x1,2?上直线y?a与g?x?图像有一个交点， 取x2?min?1?????22??,0?，x3??， a?a?2则g?x2?厖2?x2?1?a，g?x3??2?x32??a， x32x32结合g?x?在???,1?单调递增，可知在区间?x3x2?上直线y?a与g?x?图像有一个交点， 综上所述，a?0时直线y?a与g?x?图像有两个交点，函数f?x?有两个零点．
【2015，21】设函数
（1）讨论
f?x??e2x?alnx．
2af?x?的导函数f??x?零点的个数;（2）求证：当a?0时，f?x?…2a?aln．
解：(Ⅰ) f '(x)=2e2x?a， x>0 …2分 x(1)若a≤0时，f '(x)>0在(0,+∞)恒成立，所以f '(x)没有零点； …3分
(2)若a>0时，f '(x)单调递增．当x ?0, f '(x) ?-∞；当x ?+ ∞,f '(x) ?+∞， 所以f '(x) 存在一个零点． …6分
(Ⅱ) 设f '(x)的唯一零点为k，由(Ⅰ)知(0, k)上，f '(x)<0，f(x)单调递减； 在(k,+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增．所以f(x)取最小值f(k)． …8分 所以f(x)≥f(k)= e2k-alnk，又f '(k)= 2e2k?2aa=0，所以e2k=，2k?ln?lnk，
ak2k所以f(k)=
a2aaa?a(ln?2k)??2ka?aln?2a?aln， 2ka2k222． …12分 aa． x所以f(x)≥2a?aln2x21． 解析 （1）f?x??e2x?alnx?x?0?，f??x??2e?显然当a?0时，f??x??0恒成立，f??x?无零点．
aa2x，则g??x??4e?2?0，即f??x?单调递增． xxaa2x2x令g?x??f??x??2e??0，即2e?．
xxa
画出y?2e2x与y?的图像，如图所示．
x
2x 当a?0时，取g?x??f??x??2e?由图可知，f??x?必有零点，所以导函数f??x?存在唯一零点．
yy=2e2xy=Oaxx
（2）由（1）可知f??x?有唯一零点，设零点为x0， 由图可知，当x??0,x0?时，f??x??0，即f?x?单调递减；
当x??x0,???时，f??x??0，即f?x?单调递增．
所以f?x?在x?x0处取得极小值，即f?x?min?f?x0??e2x0?alnx0．
2x又f??x0??2e0?aa?0，解得e2x0?．① x02x0a?2x0． 2①两边分别取自然对数，得2x0?lna?ln2x0，即lnx0?ln所以f?x0??aa?a?a?a?ln?2x0???2ax0?aln… 2x02?2?2x02a?aln
aa21?2ax0，即x0?时取等号）?2a?aln（当且仅当．
2a22x0(1?a)2x?bx(a?1)，曲线y?f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率2【2014，21】设函数f(x)?alnx?为0．
(Ⅰ)求b; (Ⅱ)若存在x0≥1，使得f(x0)?解：(Ⅰ) f?(x)?a，求a的取值范围． a?1a?(1?a)x?b(x>0)，依题f '(1)=0，解得b=1， …3分 x(1?a)x2?x?a(x?1)[(1?a)x?a](1?a)2x?x，f?(x)??(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)?alnx?， 2xxa因为a≠1，所以f '(x )=0有两根：x=1或x?。 …4分
1?a1a?1，在(1,+∞)上，f '(x)>0，f (x)单调递增. (1)若a?，则
21?aaa1?aa?1?所以存在x0≥1，使得f(x0)?，的充要条件为f(1)?，即，
a?11?a21?a解得?2?1?a?2?1。 …6分
1aa?1，在 (1, (2)若?a?1，则)上，f '(x) <0 , f (x)单调递减，
21?a1?aa,??)时，f '(x)>0，f (x)单调递增. 在(1?aaaa)?所以存在x0≥1，使得f(x0)?，的充要条件为f(，
a?11?a1?aaaa2aa而f(，所以不合题意. …9分 )?aln???1?a1?a2?1?a?1?a1?a1?a?1?aa?1??(3) 若a>1，则f(1)?。存在x0≥1，符合条件。…11分 22a?1综上，a的取值范围为：(?2?1,2?1)?(1,??)。 …12分
【2013，20】已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4．
(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．