发布时间 : 星期一 文章江苏省连云港、徐州、宿迁三市2015届高三下学期第三次模拟数学试卷更新完毕开始阅读
考点： 与圆有关的比例线段；弦切角． 专题： 推理和证明． 分析： 连接DE，交BC于点G．通过弦切角定理，得∠ABE=∠BCE，然后利用勾股定理可得DB=DC． 解答： 证明：如图，连接DE，交BC于点G．
由弦切角定理，得∠ABE=∠BCE． …（4分） 而∠ABE=∠CBE，故∠CBE=∠BCE，所以BE=CE． …（6分） 又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，
所以∠DCE=90°，由勾股定理可得DB=DC． …（10分）
点评： 本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线的应用，勾股定理的应用，考查推理能力．
（选修4-2：矩阵与交换）
22．已知矩阵A的逆矩阵A=
﹣1
．求曲线xy=1在矩阵A所对应的变换作用下所得
的曲线方程．
考点： 逆变换与逆矩阵． 专题： 矩阵和变换．
分析： 根据矩阵变换的特点代入计算即可．
解答： 解：设xy=1上任意一点（x，y）在矩阵A所对应的变换作用下对应的点（x′，y′），
则=A
﹣1
=，
由此得
2
2
，
代入方程xy=1，得y′﹣x′=2．
22
所以xy=1在矩阵A所对应的线性变换作用下的曲线方程为y﹣x=2．
点评： 本题考查矩阵的变换等知识，注意解题方法的积累，属于基础题．
（选修4-4：坐标系与参数方程） 23．已知曲线C1的参数方程为
（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原
）
点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+=2．求C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0，0≤θ＜2π．
考点： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程．
分析： 运用同角的平方关系，可得C1的普通方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C2的直角坐标方程，联立方程组，可得交点，再由直角坐标和极坐标的关系，即可得到所求点的极坐标． 解答： 解：将
2
2
消去参数α，得（x﹣2）+y=4，
22
所以C1的普通方程为：x+y﹣4x=0． 由ρcos（θ+
）=2
，即为
（ρcosθ﹣ρsinθ）=2
，
则曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程得：x﹣y﹣4=0． 由
，解得
或
，
所以C1与C2交点的极坐标分别为（4，0）或（2，）．
点评： 本题考查参数方程，极坐标方程和普通方程的互化，同时考查曲线交点的求法，考查
运算能力，属于基础题．
（选修4-5：不等式选讲） 24．已知a，b，c都是正数，求证：
考点： 不等式的证明．
专题： 证明题；不等式的解法及应用．
分析： 利用基本不等式，再相加，即可证得结论． 解答： 证明：∵a，b，c都是正数，
∴ab+bc≥2abc，ab+ca≥2abc，ca+bc≥2abc
222222222
∴2（ab+bc+ca）≥2abc+2abc+2abc 222222222∴ab+bc+ca≥abc+abc+abc ∴
≥abc．
22
22
2
22
22
2
22
22
2
≥abc．
点评： 本题考查利用基本不等式证明不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．
[必做题]每小题10分，计20分。请把答案写在答题卡的指定区域内。
25．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点．
（1）求线段PQ长度的最小值；
（2）当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成角的正弦值．
考点： 直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算． 专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： 取BD中点E，连结AE，CE，说明CE⊥BD，证明AE⊥CE，得到AE⊥平面BCD，以EB，EC，EA分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系， （1）设P（a，0，0）求出（2）由（1）知
向量表达式，然后求解模的最值．
，求出平面ACD的一个法向量为，然后利用向量的
数量积，求解故直线PQ与平面ACD所成角的正弦值．
解答： 解：取BD中点E，连结AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，AE=CE=
222
∵AC=，∴AE+CE=AC，∴△ACE为直角三角形，∴AE⊥CE， ∴AE⊥平面BCD…（2分）
以EB，EC，EA分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系， 则B（1，0，0），C（0，，0），A（0，0，），…（3分） （1）设P（a，0，0），则
，
，
，
=
分） 当a=0，
时，PQ长度最小值为
…（6分）
，设平面ACD的一个法向量为=（x，y，z），
=
…（5
（2）由（1）知
由，得，化简得，取
设PQ与平面ACD所成角为θ，则==．
故直线PQ与平面ACD所成角的正弦值为…（10分）
点评： 本题考查直线与平面所成角的求法，空间距离公式的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．
26．设a，b，n∈N，且a≠b，对于二项式（1）当n=3，4时，分别将该二项式表示为（2）求证：存在p，q∈N，使得等式
考点： 二项式定理的应用． 专题： 二项式定理．
分析： （1）当n=3，4时，利用二项式定理把二项式∈N）的形式．
（2）分n为奇数、n为偶数两种情况，分别把可得
=
+
，从而证得p﹣q=（a﹣b）．
=（a+3b）
﹣（b+3a）
=
﹣
n
*
*
*
﹣
（p，q∈N）的形式； =
﹣
与（a﹣b）=p﹣q同时成立．
n
*
表示为﹣（p，q
展开，综合可得结论；同理
解答： （1）当n=3时，
；
当n=4时，
=显然是
﹣
*
=a﹣4a﹣
（p，q∈N）的形式．
2
+6ab﹣4b
，
+b=（a+6ab+b）﹣4（a+b）
222
（2）证明：由二项式定理得=?（﹣1）?
i
??，