发布时间 : 星期五 文章江苏省连云港、徐州、宿迁三市2015届高三下学期第三次模拟数学试卷更新完毕开始阅读
点评： 本题主要考查线性规划、基本不等式、还有函数知识考查的综合类题目．在解答过程当中，同学们应该仔细体会数形结合的思想、函数思想、转化思想还有恒成立思想在题目中的体现．
14．函数f（x）=a﹣x（a＞1）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 1＜a＜
考点： 函数的零点与方程根的关系． 专题： 综合题；导数的综合应用．
分析： x＜0时，必有一个交点，x＞0时，由a﹣x=0，可得lna=
x
2
x
2
．
，构造函数，确定函
数的单调性，求出1＜a＜
x
时有两个交点，即可得出结论．
2
x
2
解答： 解：x＞0时，由a﹣x=0，可得a=x，∴xlna=2lnx， ∴lna=
，
令h（x）=，则h′（x）==0，可得x=e，
∴函数在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减， ∴h（x）max=h（e）=， ∴lna＜，
∴1＜a＜时有两个交点；
又x＜0时，必有一个交点， ∴1＜a＜
时，函数f（x）=a﹣x（a＞1）有三个不同的零点，
．
x
2
故答案为：1＜a＜
点评： 本题考查函数的零点，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内。
15．在△ABC在，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，sinA=（1）求tanB的值；
（2）若c=，求△ABC的面积．
考点： 正弦定理． 专题： 解三角形．
cosB．
分析： （1）由cosC=，C∈（0，π），可得sinC=（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=（2）由（1）知tanB=
，又sinA=
，由A+B+C=π，可得sinA=sincosB．即可得出tanB．
，又sinA=
cosB，
，可得sinB，cosB．利用正弦定理得
利用S=bcsinA即可得出．
解答： 解：（1）∵cosC=，C∈（0，π）， ∴sinC=∵A+B+C=π，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=又sinA=∴
cosB=
．
，∴，
，cosB==
． ，
cosB．
，
，
=
，
∴tanB=
（2）由（1）知tanB=由正弦定理得
又sinA=cosB=，
=
．
S=bcsinA=
点评： 本题考查了正弦定理、两角和差的正弦函数、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．如图，矩形ABCD所在平面与三角形ECD所在平面相交于CD，AE⊥平面ECD． （1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）若点M在线段AE上，AM=2ME，N为线段CD中点，求证：EN∥平面BDM．
考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）证明AB⊥AE，AB⊥AD，利用直线与平面垂直的判定定理证明AB⊥平面ADE． （2）连AN交BD于F点，连接FM，证明EN∥FM，利用直线与平面平行的判定定理证明EN∥平面BDM． 解答： 证明：（1）∵AE⊥平面ECD，CD?平面ECD． ∴AE⊥CD． 又∵AB∥CD，∴AB⊥AE．…（2分） 在矩形ABCD中，AB⊥AD，…（4分） ∵AD∩AE=A，AD，AE?平面ADE， ∴AB⊥平面ADE．…（6分）
（2）连AN交BD于F点，连接FM，…（8分） ∵AB∥CD且AB=2DN， ∴AF=2FN，…（10分）
又AM=2ME∴EN∥FM，…（12分） 又EN?平面BDM，FM?平面BDM． ∴EN∥平面BDM．…（14分）
点评： 本题考查直线与平面平行的判定定理以及直线与平面垂直的判定定理的应用，考查逻辑推理能力．
17．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA=α（0＜α＜
）．
（1）为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使△PAE与△PFB的面积之和最小；
（2）为节省建设成本，试确定E，F的位置，使PE+PF的值最小．
考点： 三角形中的几何计算． 专题： 解三角形．
分析： （1）借助三角函数求出△PAE与△PFB的面积，利用基本不等式性质，求出E，F的位置；
（2）借助三角函数求出PE+PF，利用导数求出当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小． 解答： （1）在Rt△PAE中，由题意可知∠APE=α，AP=8，则AE=8tanα． 所以S△APE=PA×AE=32tanα．…（2分） 同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，PB=1，则BF=所以S△PBF=PB×BF=
．…（4分）
故△PAE与△PFB的面积之和为32tanα+32tanα+
≥2
=8
…（5分）
当且仅当32tanα=，即tanα=时取等号，
故当AE=1km，BF=8km时，△PAE与△PFB的面积之和最小．…（6分） （2）在Rt△PAE中，由题意可知∠APE=α，则PE=同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，则PF=令f（α）=PE+PF=
+
，0＜α＜
…（8分）
则f′（α）==（10分）
f′（α）=0得tanα=
所以tanα=，f（α）取得最小值，…（12分） 此时AE=AP?tanα=8×=4，BF=
当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小．…（14分）
点评： 本题考查了学生解三角形的能力，基本不等式的性质和导数的应用，本题对学生的综合应用知识的能力有较高的要求．
18．如图，已知椭圆M：
=1（a＞b＞0），其离心率为
，两条准线之间的距离为
．B，
C分别为椭圆M的上、下顶点，过点T（t，2）（t≠0）的直线TB，TC分别与椭圆M交于E，F两点．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）若△TBC的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．