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6.自主招生专题之数列
一、基础知识
1线性递归数列定义：若数列{an}从第k项以后任一项都是其前k项的线性组合，即 an+k=λ1an+k－1+λ2an+k－2+…+λkan， ① 其中n∈N*，λ1，λ2，…，λk是常数，λk≠0，则称{an}为k阶线性递归数列． ①称为{an}的递归方程．令an=xn(x≠0)代入①得
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xk=λ1xk1+λ2xk2+…+λk (λk≠0)， ② 称为k阶线性递归数列{an}的特征方程． 2线性递归数列的通用解法——特征方程法
定理1：若②有k个相异的根x1、x2、…、xk，则对应递归方程①所确定的递归数列的通项公式为an=c1x1n+ c2x2n+…+ckxkn，其中c1、c2、…、ck是下面线性方程组的唯一解：
?c1x1?c2x2?????ckxk?a122?c1x12?c2x2?????ckxk?a????????????????????????????2． ?kkk?c1x1?c2x2?????ckxk?ak定理2：若特征方程②有k重根λ，则对应递归方程①所确定的数列的通项公式为an=(c1+c2n+…k－1n
+ckn)λ，其中c1、c2、…、ck是如下线性方程组的唯一解：
?(c1?c2?????ck)??a1?(c1?2c2?????2k?1ck)?2?a2． ?????????????????????????????k?1k?(c1?kc2?????kck)??ak定理3：若特征方程②有k1重根λ1，k2重根λ2，…，ks重根λs (k1+k2+…+ks=k)，则对应递归方???、clk(l=1，2，…，程①所确定的数列的通项公式为an=?(cl1?cl2n????+clklnkl?1)xln，其中cl1、cl2、l?1lss)是在上面通项公式中令n=1，2，…，k所得线性方程组的唯一解．
3.数列极限的定义
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限趋近于某个常数a ．．．．．（即an?a无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限.记作liman?a.
n??4.数列的有界性：
* 数列{xn}对任意n?N，存在M?0，都有|xn|?M，则称数列{xn}是有界的。
5.一个重要定理：一个有界的单调数列必有极限。 6.三个最基本的极限
(1)常数数列的极限就是其本身，即：limC=C．
n??(2) lim1=0，一般的lim1?0（??0，?为常数）；
n??nn??n?(3)当|q|<1时，limqn=0．
n??这三个最基本的极限是求复杂数列极限的基础和化归方向． 7.数列极限四则运算法则：
如果liman=A, limbn=B, 那么： lim (an±bn)= liman±limbn=A±B．
n??n??n??n??n??ananlimn??bn)= liman·B． lim==A (bn≠0，B≠0)． lim(an·limbn=A·
n??blimbnBn??n??n??nn?? 1
?1,a?b?liman=liman=A (an≥0, A≥0)．liman?bn??0,a?b
n??n??a?bn????1,a?b?nn应特别注意理解：
(1)公式成立的条件：公式成立的前提是{an}与{bn}都存在极限． (2)公式的实质：是四则运算与取极限这两种运算可以变换顺序． (3)公式的推广：公式中的两项的和，差，积可以推广到有限个项，但是它们都不能推广到无限个． 8.无穷数列各项的和
(1)无穷递缩等比数列：
当公比|q|<1时无穷等比数列{an}称为无穷递缩等比数列．
aa1(1?q)n=1，则称这个极限叫做无穷递缩等比数列各项的和，用S表示，即limSn=limn??n??1?q1?qa1． 1?q(2)其它无穷数列各项的和：
若无穷数列{bn}不是等比数列，但可求得前n项和 Tn，且limTn=t．
S=
n??则无穷数列{bn}的各项和存在，且为：S=limTn=t．
n??9.求数列极限的方法与基本类型：
(1)求数列极限的基本思路是“求和——变形——利用极限的运算法则求解”，而在求解前应先化为三个重要的极限．
(2)常见的几类数列极限的类型和方法有：
①0型：分子分母分别求和再化简转化．②?型：分子分母分别求和再化简转化． 0?③已知极限值定参数：待定系数法
(3)要注意极限运算法则的使用范围，以及特殊极限的使用条件． (4)实际运用中极限思想应引起注意． 二、典型例题 例1.（1）（2013年北约）设数列?an?满足a1?1，前n项和为Sn，Sn?1?4an?2，求a2013．
(2)(2009年华南理工大学)已知a2?a?1?0,b2?b?1?0,a?b,设a1?1,a2?b. 若an?1?an?an?1?0,bn?an?1?a?an. 1.证明数列{bn}是等比数列; 2.求数列{an}的通项公式;解：（1）∵a1?1，a1?a2?4a1?2，∴a2?5；
由 Sn?1?4an?2，有n?2时，Sn?4an?1?2，于是an?1?4an?4an?1， 特征方程x?4x?4有重根2，可设an?(c1?c2n)?2n， 将a1?1，a2?5代入上式，得c1??于是an?(（2）
2
213，c2?， 443n1?)?2n?(3n?1)?2n?2，∴a2013?6038?22011． 44
例2.（2003年上海复旦）已知数列{an}的前n项和为Sn，
an?
1，求S2003．
(n?1?n)(n?1?n?1)(n?n?1)例3.（浙江大学2009年自主招生）数列{an}满足条件:a1?1，an?1?(1) 1?an?2(n?N*)；(2)
1an?1(n?2).试证明:
1|an?1?an|1??(n?2)。 3|an?an?1|21?1. an?1证明:(1)显然对于任意的n有an?0，故an?1?又由an?1?1知an?1?(2)由an?1?11?1??2，故1?an?2. an?1111知an?1?1? an?1an两式相减,得an?1?an?a?a11??n?1nanan?1anan?1a?a11所以|n?1n|?||?.an?an?1anan?1anan?1又因为an?1?
1知anan?1?an?1?1?[2,3] an?1111?[,] anan?132而由(1)知an?1?[1,2],所以1a?an1故?|n?1|?. 3an?an?12
3
例4.（2000年上海交大）在?an?中，a1?4，an?②求liman。
n??an?1?6，①求证：an?3?1an?1?3 3
例5.设数列{xn}，xn?1?xn2?2,n?1,2,3,...，求x1的取值范围，使得{xn}有界。
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