发布时间 : 星期三 文章数字信号处理实验报告3 DSP信号与系统实验报告 信号加窗及谱分析 电子科技大学 2018版更新完毕开始阅读
(假定N/2为偶数),从而又少作一半的乘法。这样一级一级地划分下去一直到最后就划分成两点DFT运算的情况。
a)基2按时间抽取(DIT)的FFT算法思想:
设序列长度为N?2L,L为整数(如果序列长度不满足此条件,可通过在后面补零让其满足)。
将长度为N?2L的序列x?n?(n?0,1,?,N?1),先按n的奇偶分成两组:
DFT化为:
x[2r]?1x[r] ,r?0,1,2,N, 2x[2r?1?]x2r[]X[k]?DFT{x[n]}??x[n]WNnkn?0N/2?1N?1?
?x[2r]Wr?02rkNN??x[2r?1]Wr?0kNN/2?1r?0?/21(r2?k1)NN/2?1???x[r]W1r?02rkN?W?W?x[r]W22r?02rkN (3.10)
N/2?1r?0?x[r]W1rkN/2kNN/2?1?x[r]WrkN/22rkrk上式中利用了旋转因子的可约性,即:WN?WN2。又令
N2?1r?0N2?1r?0 X1?k??则式(3.10)可以写成:
?x?r?W1rkN2,X2?k???x?r?W2rkN2,
k X[k]?X1[k]?WNX2[k],k?0,1, N2?1 (3.11)
可以看出,X1?k?,X2?k?分别为从X?k?中取出的N/2点偶数点和N/2点奇数点序列的N/2点DFT值,所以,一个N点序列的DFT可以用两个N/2点序列的DFT组合而成。但是,从式(3.11)可以看出,这样的组合仅表示出了X?k?前N/2点的DFT值,还需要继续利用X1?k?,X2?k?表示X?k?的后半段本算法推导才
rkr?k?N2?完整。利用旋转因子的周期性,有:,则后半段的DFT值表达式: WN?WN2N2?1N2?1r??k??N?rk?2? X1??k???x1?r?WN2 ??x1?r?WN2?X1?k??2?r?0r?0?N??N?同样,X2??k??X2?k? (k=0,1,…,N/2-1),所以后半段(k=N/2,…,N-1)的
?2?N2?kN2kkDFT值可以用前半段k值表达式获得,中间还利用到WN,?WNWN??WN得到后半段的X?k?值表达式为:
k X[k]?X1[k]?WNX2[k],k?0,1,N2?1 (3.12)
这样,通过计算两个N/2点序列x1?n?,x2?n?的N/2点DFTX1?k?,X2?k?,可以组合得到N点序列的DFT值X?k?,其组合过程如图3.3所示:
图3.3 两个N/2点DFT组合成一个N点DFT
比如,一个N = 8点的FFT运算按照这种方法来计算FFT可以用图3.4来表示:
x(0)W0x(1)W0x(2)W0x(3)x(4)W0x(5)W0x(6)W0x(7)W2X(7)W3X(6)W2X(5)W2W0W1X(3)X(4)X(2)X(1)X(0)
图3.4 8点基2按时间抽取(DIT)算法流程图
b)基2按频率抽取(DIF)的FFT算法思想:
设序列长度为N?2L,L为整数(如果序列长度不满足此条件,通过在后面补零让其满足)。
在把X?k?按k的奇偶分组之前,把输入按n的顺序分成前后两半:
X[k]?DFT{x[n]}??x[n]Wn?0N/2?1N?1nkNN/2?1??n?0x[n]WnkN?n?N/2?N?1x[n]WNnk???n?0x[n]WnkNN/2?1??n?0)kN(n?Nx[n?]WN22N/2?1?n?0kNN[x[n]?x[n?]WN2]WNnk,k?0,1,...,N?12
N2?N2?k因为WN??1,则有WN???1?,所以:
kN/2?1X[k]???n?0[x[n]?(?1)kx[n?Nnk]]WN,k?0,1,...,N?12
按k的奇偶来讨论,k为偶数时:
N/2?1X[2r]??[x[n]?x[n?2]]Wn?0N2rnN,k?0,1,...,N?1
k为奇数时:
N/2?1X[2r?1]??n?0[x[n]?x[n?N(2r?1)n]]WN,k?0,1,...,N?12
2rkrk前面已经推导过WN?WN2,所以上面的两个等式可以写为:
N/2?1X[2r]??n?0[x[n]?x[n?Nrn]]WN/2,r?0,1,...,N/2?12 Nnnr]]WN}WN/2,r?0,1,...,N/2?12
N/2?1X[2r?1]??{[x[n]?x[n?n?0通过上面的推导,X?k?的偶数点值X?2r?和奇数点值X?2r?1?分别可以由组合而成的N/2点的序列来求得,其中偶数点值X?2r?为输入x[n]的前半段和后半段之和序列的N/2点DFT值,奇数点值X?2r?1?为输入x[n]的前半段和后半段
n之差再与WN相乘序列的N/2点DFT值。
令
x1[n]?x[n]?x[n?则有:
N/2?1NN]x2[n]?[x[n]?x[n?]]WNn2,2
X[2r]??n?0x1[n]WrnN/2N/2?1,X[2r?1]??n?0rnx2[n]WN/2,r?0,1,...,N?12
这样,也可以用两个N/2点DFT来组合成一个N点DFT。 (3)在FFT计算中使用到的MATLAB命令:
函数fft(x)可以计算R点序列的R点DFT值;而fft(x,N)则计算R点序列的N点DFT,若R>N,则直接截取R点DFT的前N点,若R 四、实验目的: 1、理解信号时域加窗后频谱的所发生的变化。 2、观察时域选择加不同的窗频域的变化情况,从而分析各种窗的特性。 3、深刻理解FFT基本思想,学习基2 DIT和基2 DIF算法。重点理解FFT算法在计算DFT方面的时间优化。 4、观察时域选择加不同的窗后利用FFT绘出的该信号频域的变化情况,再次确认各种窗的特性。 五、实验内容: 1、计算两个给定的加窗的实数序列的DTFT,其中窗函数分别取为矩形窗,Bartlett窗,Hann窗,Hamming窗和Blackman窗,对比各自的频谱特性。 2、对以上两个序列,利用DFT定义式,编程直接计算2个要求序列的DFT值(直接加矩形窗对其截断)。 3、利用MATLAB中提供的FFT函数,计算以上两个序列的DFT值,对比与直接利用DFT定义式计算的结果与所花费的计算时间。 4、对以上两个序列,分别采用不同的窗(Bartlett窗,Hann窗,Hamming窗和Blackman窗),利用FFT函数计算DFT值,对比其结果。 六、实验器材(设备、元器件):