发布时间 : 星期一 文章数列中常见的最值问题教学设计更新完毕开始阅读
《数列中常见的最值问题》教学设计
一、教材分析
数列作为一类特殊的函数，虽然在课程中的课时数不多，但由于数列蕴含着丰富的数学思想方法，有利于培养学生的运算求解能力、推理论证能力、逻辑思维能力、应用数学知识分析问题和解决问题的能力，深刻迎合了新课程改革的教学理念，因而在高中数学中占有重要的地位，也是每年各地高考的重点、热点。
高考对数列知识的考查主要体现在三个方面：一是考查数列的基本概念，二是考查等差、等比数列的概念和性质、通项公式及前n项和公式，三是考查数列与函数、方程、不等式、解析几何等知识的结合。
最值问题是数学中的常见题型，而数列是特殊的函数，所以数列中最值问题的解决可以从以下三个方面来着手：1、数列的基本量法2、利用数列的性质3、借助函数的思想。
二、学情分析
学生已经对数列知识有了初步的认识，对数列公式的运用已具备一定的技能。但高三文科班，男生少，女生多，女生很认真，但太过于定性思维，成绩不是太理想！针对学生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
三、教学设计思想
数列的最值问题是一类常见的数列问题，是数列中的难点之一，也是函数最值问题的一个重要类型，数列的最值问题主要有以下2种类型： 类型1、求数列{an}的前n项和Sn的最值。 类型2、求数列{an}的最值。
这节课为高三第一轮复习课中数列最值问题的第一课时，学生对数列的最值问题大多没有形成明晰的知识脉络，因此，这节课在知识技能上以基本概念和基本解题思路的理解和掌握为主，同时注意函数思想的渗透和部分函数、不等式知识技能的应用。
四、目标分析
教学目标：
1.通过教与学，使学生能够利用等差、等比数列的通项、前n项和公式及性质解决相关的最
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值问题.
2.通过对数列中最值问题的探究，让学生归纳总结求最值的一般方法 .
3.在解决问题的过程中，使学生学会借助函数的单调性解决有关数列最值问题，体会转化思想、函数思想.
教学重点：学生对数列最值问题的解题思路的初步应用 教学难点: 函数思想在数列中的应用
五、教学过程
（一）知识回顾
基本知识 1.等差数列的通项公式an= . 前n项和Sn= = 2.等比数列的通项公式an= . 前n项和Sn= = 特别地，当m?n?2p时，则 一位学生展示内容，其他学生纠正师生活动 回忆本章主要知识，为本课顺利进行做好铺垫。 设计意图 （注意等比3.等差数列{an}中：当m?n?p?q时,则 错误。数列中公比q≠1等比数列{an}中：当m?n?p?q时，则 的情况） 特别地，当m?n?2p时，则 （二）合作探究
问题 师生活动 设计意图 1.设等差数列{an}前n项和为Sn，已知a2?6，师:公式和性质是为a8??6，求当n为何值时，Sn最大。 解一：设等差数列的首项为a1，公差为 d，则 了更快更好的解题， 下面大家观察同学展示的第一题，说明每种解法的解题思路。再总结一下等差数列中求前n项和主要是通过不同的展示，让学生总结一下等差数列中求前n项和Sn最值的方法。 {a2?a1?d?6 ∴a1?8，d??2 a8?a1?7d??6 ∴Sn?na1?∴当nn(n?1)d??n2?9n 2?4或5时，Sn有最大值。 Sn最值的方法。 解二：设等差数列的首项为a1，公差为 d，则 2?a1?d?6{a ∴aa8?a1?7d??6 生：解一主要通过二1.a与0的分n次函数研究Sn的最界。 1?8，d??2 值。解二通过通项公2.Sn（借助二次 2
an?10?2n?0∴an?10?2n ∴ an?1?8?2n?0 ∴4?n?5 {式的正负。解三通过函数）。 性质研究an的正负 且对比哪种方师：解二与解三的区别？ 生：一个利用数列的基本量法，一个利用数列的性质。 师：哪一种更简单？ 生：利用性质 法更好，为下面问题做好铺垫。 ∴ 当n?4或5时，Sn有最大值。 解三：由等差数列的性质可得： a2?a8?2a5?0 ∴ a5?0 由题可得：a4?0,a6?0 ∴ 当n?4或5时，Sn有最大值。 2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，师：有了上题的结论做铺垫后，大家一起研究一下第2题。 生甲：（1）主要是根据已知条件列出不等式即可。（2）要求 1.学生在投影仪上展示结果并简单的讲解a3?12，S12?0,S13?0， (1)求公差d的取值范围； (2)求当n为何值时，Sn最大？ 学生展示： （1）设等差数列的首项为a1，公差为 d，则 a3?a1?2d?12 ∴ a1?12?2d Sn最值，只需表示出过程。 Sn，注意离对称轴最近的正整数即可。 生乙：根据（1）中d的2.这道题主要也是应用上一题的思路来解题，相对来说有S12?12a1?66d?144?42d?0 S13?13a1?78d?156?52d?0 24∴??d??3 7（2）解一：由（1）可得： 范围求出a6，a7的正点难度而已。 负，得到Sn的最值。 3.强调在解决师生共同总结：甲主要数列问题时除Sn?na1?n(n?1)d5d??d?n2??12??n 222??它的对称轴n?51224?，又∵??d??3 了借助函数外，2d7是通过研究Sn借助二也经常利用性∴ 对称轴 6?n?6.5，即对称轴永远靠近正整次函数解题。乙主要是质来解题。 利用条件判断an的正4.这节课的重负来求Sn的最值。 点是等差数列数6. 所以，当n?6时，Sn最大。 解二：设等差数列的首项为a1，公差为 d， 由（1）可得：?7296?3d??9，??4d??12 77 师：下面大家再看一种中求Sn的最值。 3
而a6?a3?3d?12?3d?0 方法解三，主要是利用等差数列的性质得到a7?a3?4d?12?4d?0 ∴ 当n?6时，Sn最大。 解三：由题可得： an的正负，从而得到Sn的最值。 S12?12(a1?a12)?6?a6?a7??0?a6?a7?0 213(a1?a13)S13??13a7?0?a7?0 2a6?0∴ a7?0 ∴ 当n?6时，Sn最大。 {思考1：第(2)问的逆命题：设等差数列{an}的前项和为Sn，a3?12，当且仅当S6最大时，S12?0,S13?0是否成立？ 解一：不一定成立。 师：那么这道题如果反过来是否还成立（即思考1），条件中“当且仅当S6最大”可以得到什么？ 生：有a6?0，也有a6?0情况。 师：“当且仅当” 生：a6?0 （学生说出想法并展示解题过程） 师生共同总结结论 1.对上题结论的逆用，看学生是否真正掌握求最值得思路。 2.条件中“当且仅当”的理解，也是解题的关键。 a6?0{∵当且仅当S最大，∴ a7?0 6a6?a3?3d?12?3d?0 a7?a3?4d?12?4d?0 ∴?4?d??3 ∴ S12?12a1?66d?144?42d???24,18? ∴ S13?13a1?78d?156?52d???52,0? ∴S12不一定大于0，但是S13?0成立。 解二: 不一定成立。 a6?0 ∵当且仅当S6最大，∴ a7?0 {不一定成立。 S13?而S12?
13(a1?a13)?13a7?0 212(a1?a12)?6?a6?a7?不一定大于0. 2（三）类比探究
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