发布时间 : 星期二 文章平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第5讲 风险规避、风险投资与跨期决策)更新完毕开始阅读
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图5-4 只在无风险资产上投资
5．假设本章第4题中的资产收益要上缴税收。请说明（用文字）：
（1）为什么对财富按比例征税不会影响配置在风险资产上的财富比例。
（2）假定只有从安全资产中获得的收益才按比例交税。这会怎样影响风险资产在财富中的比例？哪些投资者可能受这样一个税收的影响最大？
（3）如果所有的资产收益都要按比例交收入税，你对（2）的回答会怎样变化？ （注意：这个问题需要计算能导致税后效用最大化的财富的税前配置）
答：设投资者的效用函数为u?w?。设wg为投资者在好的状态下的财富，wb为坏状态下的财富，设投资者认为有P的概率出现好的状态。
设???0,1?为风险资产在投资组合中所占比例。由题意知，投资者决定?是以u的最大化为标准。即：??argmaxu?w?,??，因此，?必须满足：
??[0,1] du???/d??0 ①
又
u?w?,???Pu?wg???1?P?u?wb??????1?P?u???1?rb?w???1????1?r?w?? ?Pu??1?rw?1??1?rw??????g????
代入①式得：
du?wg?dwdu?wb?dwdu?wg?dwdu?wb?dw??1?Prb?r??k ② Prg?r现在证明是?的单调函数。
若u??w??0，u???w??0 ③
jiji???????那么，如果有?j??i，则有u??wg?????u?wg????，u?wb?????u?wb????。
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由假设③式知，必然有
j?du??wg????dwj?du??wb????dwBorn to win
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?i?du??wg????dwi?du??wb????dw（即为?的单调递增函数），也就
是说，等式②决定了唯一一个最优风险资本比例?。
如果k值并不在
du?wg?dwdu?wb?dw的值域内，事实上就说明，投资者将选择纯风险投资，即
??1，如果k?1，那么，投资者将选择??1。
（1）设对财富按比例征税的税率为tw，则有：
duwg,twb,tw??dw??1?tdu?w?dw?1?t?du?wg?w?du?wg?wdwdw?du?wg?dwdu?wg?dw
而仍然对应原有的风险资产比例?，风险资产的比例不变。 （2）设对安全资产的收益按比例征税的税率为ts，则有：
duwg,ts/dwb,ts????1?PPdu?w?/dwrb?r?ts?rts1?Prb?r???k
rg?r?ts?rtsPrb?r所以，如果考虑对安全资产的征税，风险资产比例?应该增加，这对只投资无风险资产
的投资者的影响最大。
（3）设对安全资产的收益按比例征税的税率为ts，对风险资产按比例征税的税率为tr， 则有：
duwg,ts,tr/dwb,ts,tr?du?w???1?PP?/dwrb?r?tr?rgtr?ts?rtsrg?r?tr?rgtr?ts?rts
如果?tr?rgtr?ts?rts?0，那么最优风险资产比例?应该上升；如果?tr?rgtr?ts?rts?0，那么最优?应当下降；如果?tr?rgtr?ts?rts?0时，最优?应当保持不变。
6．某消费者的效用函数为u?c0,c1??cc。这里c0表示其在时期0的消费开支，c1代表其在时期1的消费开支。银行存贷利率相等且为r，该消费者在t?0期的收入为I0?60，在
t?1期的收入I1?100。
问：如果r?0，他该储蓄还是借贷？ 如果r?1，他该储蓄还是借贷？
答：跨期决策的消费者的效用最大化问题为：
maxccc0,c112011201cI100s?t?c0?1?I0?1?60?1?r1?r1?r
构造该问题的拉格朗日函数：
c?100?L?cc???60??c0?1?
1?r1?r??1201985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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拉格朗日函数分别对c0、c1和?求导得：
1?L?c12???0 ① ?c0?L1?1??c0c12??0 ② ?c121?rc?L100?60??c0?1?0 ③ ??1?r1?r由上述三式解得：c0?40?下面分情况讨论： （1）如果r?0，c0?40?（2）如果r?1，c0?200100，c1??20?1?r?。
3?1?r?3200?106.67?60，所以消费者会借贷。 3100?20?2?73.33?60，所以消费者还是会借贷。 3
7．一个人拥有固定财富（w），并把它分配在两时期的消费中，个人的效用函数由下式给出：
u?c1,c2?
预算约束为：
w?c1?c2/?1?r?
这里，r是单期利率。 （1）证明如果个人在此预算约束下要最大化其效用，则他应当选择MRS?1?r（c1对c2）时的c1与c2的组合。
（2）证明?c2/?r?0，但是?c1?r的符号不确定（假设两期的消费会随着收入的增加而增加）。
证明：（1）跨期决策的消费者的效用最大化问题为：
maxu?c1,c2?c1，c2 c2s?t?c1??w1?r构造该问题的拉格朗日函数：
??c1,c2,???u?c1,c2????w?c1???c2? 1?r??从而解得：
u?1?1?r?MRSc1，c2。 u?212故如果个人在此预算约束下要实现最大化其效用，他应当选择MRSc,c?1?r时c1与c2的组合。
（2）如果令p?1，那么跨期决策的消费者效用最大化问题就是： 1?r985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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maxu?c1,c2?c1，c2
s.t.c1?pc2?w则第二期消费c2可以表示为p、w的函数，记为c2?p,w?，利用斯拉茨基方程，可知：
?c2?h2?c2??c2 ?p?p?w假设
?c2?0，即第二期的消费会随着总收入的提高而增加，那么由于替代效应为负，?w即
?c?c?h2?c1?0。 ?0，可知2?0，从而2?2??1?2?r?p?p?p?1?r??c1?c1?c?c?h?c1?，对1利用斯拉茨基方程有1?1?1c1，由于交叉替代??1?2?r?p?p?p?p?w?1?r?同理
效应
?h1?c?c的符号不能确定，所以即使假设收入效应为正，也不能确定1的符号，所以1的?p?p?r符号也不能确定。
8．一个人寿保险推销员说：“在你这个年纪购买一张100000美元终身寿险保单比一张定期保单要好很多。持有终身寿险保单，你只在前4年里每年支付2000美元，但在你生命的以后的日子里就无需支付了。一张定期保单每年需要你支付400美元，而且永远是这样。如果你再活上35年，你只需对终身保单支付8000美元，但对定期保单则要支付14000美元。所以，终身保单无疑是笔更好的交易。”
假定推销员的寿命预期是正确的，你将如何评价他的论断？更确切地说，假定利率为10%，请计算两张保单的保费成本的贴现值。
答：（1）推销员的评论不正确，因为他没有考虑保单成本的现值。 （2）对于终生寿险保单而言，其成本现值为：
PVp??32000y?0?1?r?y?100000?1?r?34?3059（美元）
对于定期保单而言，其成本现值为：
PVf??34400y?0?1?r?y?100000?1?r?34?329（美元）
从净现值的角度看，定期保单的成本现值低于终生寿险保单的现值，所以推销员的评论不正确。
9．一个强行推销汽车贷款的女推销员对一个刚刚购车的人说：“假定你用现金购买这辆10000美元的汽车，因为你用那笔钱可在银行获得10%的利率，所以三年内你将至少损失3000美元。另一方面，如果你要选择我们的低成本的汽车贷款购买10000美元的汽车，那么只需每月支付350美元持续36个月即可，总体上你只需为汽车支付12600?10000?2600美元的利息。因此，你通过这样融资就可以省钱。” 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解