发布时间 : 星期日 文章人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第5章第3节等比数列及其前n项和含答案更新完毕开始阅读
?2?利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1
－2an，
(1)求证：{bn}是等比数列． (2)求{an}的通项公式．
[解] (1)因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an， bn＋1an＋2－2an＋1
所以b＝ an＋1－2ann
4an＋1－4an－2an＋12an＋1－4an
＝＝＝2.
an＋1－2anan＋1－2an因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5. 所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， 所以
an＋1an3－n＝， 2n＋124
?an?13
故?2n?是首项为，公差为的等差数列．
24??
an133n－1
所以n＝＋(n－1)·＝，
2244所以an＝(3n－1)·2n－2.
等比数列性质的应用
【例2】 (1)等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．5
(2)(2019·海口调研)在各项均为正数的等比数列{an}中，若am·am＋2＝2am＋1(m∈N*)，数列{an}的前n项积为Tn，且T2m＋1＝128，则m的值为( ) A．3 B．4 C．5 ________.
(1)C (2)A (3)9 [(1)因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，
所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)(a9＋a11)，
D．6
(3)等比数列{an}满足an＞0，且a2a8＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝
?a5＋a7?4
故a9＋a11＝＝＝2；
8a1＋a3
同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项， 所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)， ?a9＋a11?222
故a13＋a15＝＝＝1.
4a5＋a7所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.
(2)因为am·am＋2＝2am＋1，所以a2m＋1＝2am＋1，即am＋1＝2，即{an}为常数列．又T2m＋1＝(am＋1)2m＋1，由22m＋1＝128， 得m＝3，故选A.
(3)由题意可得a2a8＝a25＝4，a5＞0，所以a5＝2，则原式＝log2(a1a2……a9)＝9log2a5＝9.]
[规律方法] ?1?在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度. ?2?等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. (1)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若
________.
(2)(2019·石家庄模拟)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝11
＋＋＝________. a9a10
S10－S515S10311
(1)－ (2)－ [(1)由＝，a1＝－1知公比q≠1，＝－.
23S532S532
由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q511＝－，所以q＝－.
322
11a7＋a1011a8＋a9
(2)因为＋＝，＋＝，
a7a10a7a10a8a9a8a9由等比数列的性质知a7a10＝a8a9， 1111a7＋a8＋a9＋a10
所以＋＋＋＝ a7a8a9a10a8a9＝
15?9?5?－8?＝－.] ÷8??3
22
S1031＝，则公比q＝S532
15911，a8a9＝－，则＋88a7a8
1．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A．1盏 C．5盏 q＝2，
a1?1－q7?a1?1－27?∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.
1－q1－2故选B.]
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( ) A．21 C．63
B．42 D．84 B．3盏 D．9盏
B [设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，
B [∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21. ∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)． ∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.]
3．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________. －8 [设等比数列{an}的公比为q， ∵a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3， ∴a1(1＋q)＝－1，① a1(1－q2)＝－3.②
②÷①，得1－q＝3，∴q＝－2. ∴a1＝1，
∴a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.]
4．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
1
64 [设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又
2a1＋a1q2＝10，∴a1＝8. 故
n1＋2＋…＋(n－1)3n?1??n－1?n??a1a2…an＝a1q＝2· ?2?2
n2nn27
＝23n－＋＝2－＋n.
2222
n7n1
记t＝－＋＝－(n2－7n)，
222
结合n∈N*可知n＝3或4时，t有最大值6. 又y＝2t为增函数，从而a1a2…an的最大值为26＝64.]
5．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. [解] (1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n1或an＝2n1.
－
－
2
n
1－?－2?
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
3
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1. 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6.