发布时间 : 星期一 文章人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第5章第3节等比数列及其前n项和含答案更新完毕开始阅读
第三节 等比数列及其前n项和
[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，an＋1
定义的数学表达式为a＝q(n∈N*，q为非零常数)．
n
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab. 2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式：
1?，
?na1?q＝n
Sn＝?a1?1－q?a1－anq
?1－q＝1－q?q≠1?.[常用结论]
1．在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k.
?1??an?
??仍2．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，?a?，{a2}，{a·b}，nnnb
?n?
?n?
然是等比数列．
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，其中当公比为－1时，n为偶数时除外．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( ) (2)G为a，b的等比中项?G2＝ab.( )
(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )
a?1－a?
(4)数列{an}的通项公式是an＝a，则其前n项和为Sn＝.( )
1－a
n
n
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
1
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝( )
411A．－ B．－2 C．2 D.
22
1
D [由通项公式及已知得a1q＝2①，a1q4＝②，
41
由②÷①得q3＝，
81
解得q＝.故选D.]
2
1
3．已知数列{an}满足an＝an＋1，若a3＋a4＝2，则a4＋a5＝( )
21
A. B．1 C．4 D．8 2an＋11
C [∵an＝an＋1，∴a＝2.
2n
∴a4＋a5＝2(a3＋a4)＝2×2＝4.故选C.]
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( ) 1111
A. B．－ C. D．－ 3399
C [∵S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，∴a3＝9a1，即公比q2＝9，又a5＝a1q4，a591
∴a1＝4＝＝.故选C.]
q819
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________. 6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 2?1－2n?又∵Sn＝126，∴＝126，
1－2解得n＝6.]
等比数列的基本运算
1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝( ) A．3 B．4 C．5
D．6
B [因为3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，所以两式相减，得3(S3－S2)＝(a4－2)－(a3－2)，即a43a3＝a4－a3，得a4＝4a3，所以q＝＝4.]
a3
39
2．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知a3＝，S3＝，则a2＝________.
223
－3或 [法一：∵数列{an}是等比数列，
239
∴当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，显然S3＝3a3＝.
22当q≠1时，由题意可知 a1?1－q3?9
??1－q＝2，?
23aq?1?＝2，
1
解得q＝－或q＝1(舍去)．
2a33
∴a2＝q＝×(－2)＝－3.
23
综上可知a2＝－3或.
23
法二：由a3＝得a1＋a2＝3.
2a3a3∴2＋q＝3， q
即2q2－q－1＝0， 1
∴q＝－或q＝1.
2a33∴a2＝q＝－3或.]
2
55Sn3．(2019·济宁模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则a＝
24n________.
2n－1 [设等比数列的公比为q，则 5
41
(a1＋a3)q＝(a2＋a4)，即q＝＝，
5225
由a1＋a3＝a1(1＋q2)＝可知a1＝2.
2
?1??2?∴an＝2·??
n－1
＝
. 2n－21
1??
2?1－2n?
1????
Sn＝＝4?1－2n?.
1??1－
21??
4?1－2n???Sn∴a＝＝2n－1.]
1n
2n－2[规律方法] ?1?等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程?组?便可迎刃而解. ?2?等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和a1?1－qn?a1－anqSn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 1－q1－q 等比数列的判定与证明
an【例1】 (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝n. (1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式．
2?n＋1?[解] (1)由条件可得an＋1＝nan.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
an＋12an由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等
n＋1n比数列．
an(3)由(2)可得n＝2n－1，所以an＝n·2n－1. [规律方法] ?1?证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.