发布时间 : 星期三 文章河南省2020年中考数学压轴题全揭秘 专题15 最短路径问题(含解析)更新完毕开始阅读
∵D为AC的中点， ∴D（﹣
1，1）． 213x+． 24可得直线AC的解析式为：y=2x+2，直线DE的解析式为y=﹣
1333x+与y=x+联立， 2422315解得：x=﹣，y=．
168将y=﹣
∴在直线DE上存在点G，使△CMG的周长最小，G（﹣
315，）． 816【变式1-2】（2019·三门峡二模）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接
DE，设OD＝m．
（1）问题发现
如图1，△CDE的形状是 三角形． （2）探究证明
如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．
图1 图2
【答案】见解析． 【解析】解：（1）证明：
由旋转性质，得：∠DCE＝60°，DC＝EC， ∴△CDE是等边三角形； 故答案为：等边；
（2）存在，当6＜t＜10时， 由旋转的性质得，BE＝AD， ∴C△DBE＝BE+DB+DE
＝AB+DE ＝4+DE，
由（1）知，△CDE是等边三角形， ∴DE＝CD， ∴C△DBE＝CD+4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小， 此时，CD＝23，
∴△BDE的周长最小值为：23+4.
1.（2018·焦作一模）如图1，已知抛物线y=﹣x+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．
（1）填空：抛物线的解析式为 ，点C的坐标 ； （2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，请直接写出当点Q'落在坐标轴上时点P的坐标．
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图1 图2
【答案】（1）y=﹣x+3x+4，（﹣1，0）；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线y=﹣x+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0）， ∴-16a+4b+c=0，c=4， 解得:b=3，c=4，
∴抛物线解析式为y=﹣x+3x+4，
当y=0时，﹣x+3x+4=0，解得x=﹣1，x=4， 即C（﹣1，0）；
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答案为：y=﹣x+3x+4；（﹣1，0）； （2）∵△AQP∽△AOC， ∴
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AQAO?=4， PQCO即AQ=4PQ，
设P（m，﹣m+3m+4），则PQ=|4﹣（﹣m+3m+4|=|m﹣3m|， ∴4|m﹣3m|=m，
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1311，m3=， 4413511175∴P点坐标为（，）或（，）.
416416解得：m1=0（舍去），m2=（3）设P（m，﹣m+3m+4）， ∵抛物线对称轴为：x=∴m＞
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3， 23， 2①当点Q′落在x轴上时，延长QP交x轴于H，
则PQ=m﹣3m，
由折叠性质知：∠AQ′P=∠AQP=90°，AQ′=AQ=m，PQ′=PQ=m﹣3m， ∵∠AQ′O=∠Q′PH， ∴△AOQ′∽△Q′HP， ∴
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OAAQ'?， Q'BPQ'4m?2，得：Q′B=4m﹣12， Q'Bm?3m即
∴OQ′=12﹣3m，
在Rt△AOQ′中，由勾股定理得：4+（12﹣3m）=m，
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解得：m1=4，m2=5，
即P点坐标为（4，0），（5，﹣6）； ②当点Q′落在y轴上，
此时以点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形， ∴PQ=PQ′， 即|m﹣3m|=m，
得m1=0（舍去），m2=4，m3=2， P点坐标为（4，0），（2，6）， 综上所述，点P的坐标为（4，0）或（5，﹣6）或（2，6）.
2.（2019·中原名校大联考）如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标．
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【答案】见解析.
【解析】解：（1）在y＝﹣x+5中，当x＝0， y＝5，当y＝0， x＝5， 点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），
将（5，0）、（0，5），代入y＝﹣x+bx+c，并解得：b=4，c=5 即二次函数表达式为：y＝﹣x+bx+5.
（2）在y＝﹣x+bx+5中，当y＝0时， x＝﹣1或5， ∴A（﹣1，0），OB＝OC＝2， ∴∠OCB＝45°；
过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′（0，﹣3）、D″，
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