发布时间 : 星期二 文章河南省2020年中考数学压轴题全揭秘 专题15 最短路径问题(含解析)更新完毕开始阅读
专题15最短路径问题
模型一. 两点之间，线段最短
APB模型二. “将军饮马”
BAPA'模型三. 双动点
AP'NPOMP''B
模型四. 垂线段最短
AP
【例1】（2019·河南南阳一模）如图，已知一次函数y=比例函数y=
1x+2的图象与x轴、y轴交于点A、C，与反2k的图象在第一象限内交于点P，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，且△ABP的面积为9. x（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，点P的坐标为 ；
（2）已知点Q在反比例函数y=最小，求出点M的坐标.
k的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，是的△PQM的周长x
【分析】（1）根据一次函数的解析式求得A、C坐标，由S△ABP=
11·AB·BP=9，设P点坐标为（m，m+2），22代入得到点P坐标；（2）先根据反比例函数解析式求得Q点坐标，作Q点（或P点）关于x轴的对称点Q’（P’），连接PQ’（QP’）与x轴的交点即为点M，用待定系数法求出直线PQ’（QP’的解析式）.
【解析】解：（1）在y=
1x+2中，当x=0时，y=2；y=0时，x=－4， 2∴A点坐标为（－4,0），C点坐标为（0,2）， 设P点坐标为（m，则AB=m+4，BP=∵S△ABP=
1m+2），m>0， 21m+2, 21·AB·BP=9， 211即×（m+4）（m+2）=9， 22解得：m=2或m=－10（舍）， ∴点P的坐标为（2,3）；
（2）如图，作点Q关于x轴的对称点Q’，连接PQ’交x轴于点M，此时，△PQM的周长最小，
yPQxOMQ'
由（1）知，P(2,3)在反比例函数图象上， ∴k=6， 点Q的坐标为（6,1），点Q’的坐标为（6，－1），
设直线PQ’的解析式为：y=mx+b， 得：??2m?b?3，
6m?b??1??m??1， b?5?解得：?即直线PQ’的解析式为：y=－x+5， 当y=0时，x=5，即M点坐标为（5,0）， ∴当△PQM的周长最小时，M点坐标为（5,0）.
【变式1-1】（2017·新野一模）已知抛物线y=ax+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y=mx+
2
1交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N． 2
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN=2NF，求出此时点P的坐标；
（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵抛物线y=ax+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0）， ∴?2
?a?b?2?0，
4a?2b?2?0?解得a=﹣1，b=1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x+x+2． （2）直线y=mx+
2
1交抛物线与A、Q两点， 21， 211∴直线AQ的解析式为y=x+．
22将A（﹣1，0）代入得：m=
设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n+n+2），N（n，∴PN=﹣n+n+2﹣（
=﹣n+
22
2
11n+），F（n，0）， 2211n+） 2213n+， 2211NF=n+，
22∵PN=2NF，即﹣n+解得：n=﹣1或
2
1311n+=2×（n+）， 22221． 2当n=﹣1时，点P与点A重合，舍去． 故点P的坐标为（
2
19，）． 24129）+， 24（3）∵y=﹣x+x+2，=﹣（x﹣∴M（
19，）． 24∵A、C关于直线DE对称，
∴连接AM交直线DE与点G，连接CG、CM，此时，△CMG的周长最小，
设直线AM的函数解析式为y=kx+b， 将A（﹣1，0），M（
19，）代入并解得： 2433k=，b=， 22∴直线AM的函数解析式为y=
33x+， 22