发布时间 : 星期一 文章高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）讲义更新完毕开始阅读
1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
1．复合函数的概念
01x的函数，一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成□02y＝f[g(x)]． 那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作□在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集． 2．复合函数的求导法则
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的03yu′·ux′，并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量导数，即yx′＝□换成自变量的函数．复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导．
使用复合函数求导法则的注意事项
(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量． (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin2x)′＝2cos2x，不能得出(sin2x)′＝cos2x.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量π?π?转换成自变量的函数，如求y＝sin?2x＋?的导数，设y＝sinu，u＝2x＋，则yx′＝
3?3?
yu′·ux′＝cosu·2＝2cos?2x＋?.
3
??
π?
?
(4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x.( )
(2)函数f(x)＝xe的导数是f′(x)＝e(x＋1)．( ) (3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做
xx2
(1)若f(x)＝2x＋3，则f′(x)＝________. (2)函数f(x)＝2sinx－cosx，则f′(x)＝________. (3)函数f(x)＝－
2
，则f′(x)＝________. x＋1
2x＋
2答案 (1)2 (2)2cosx＋sinx (3)
探究1 简单复合函数求导问题 例1 求下列函数的导数．
(1)y＝(3x－2)；(2)y＝ln (6x＋4)； (3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝3x＋5.
[解] (1)∵y＝(3x－2)由函数y＝u和u＝3x－2复合而成，∴yx′＝yu′·ux′＝(u)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12.
(2)∵y＝ln (6x＋4)由函数y＝ln u和u＝6x＋4复合而成，∴yx′＝yu′·ux′＝(ln
2
2
2
2
u)′·(6x＋4)′＝＝＝. u6x＋43x＋2
(3)函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sinu和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有yx′＝yu′·ux′＝(sinu)′·(2x＋1)′＝2cosu＝2cos(2x＋1)．
(4)函数y＝3x＋5可以看作函数y＝u和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法33
则有yx′＝yu′·ux′＝(u)′·(3x＋5)′＝＝ .
2u23x＋5
拓展提升
复合函数求导的步骤
663
【跟踪训练1】 求下列函数的导数． (1)y＝1－2x；(2)y＝e
2sinx；
π??(3)y＝sin?2x＋?；(4)y＝5log2(2x＋1)． 3??
1 22
解 (1)设y＝u ，u＝1－2x，
1 ?－ 1?22
2?·(－4x) 则y′＝(u )′(1－2x)′＝?1?u ??2?1
－ 21－2x2
＝(1－2x) (－4x)＝ . 2
21－2x(2)设y＝e，u＝sinx， 则yx′＝yu′·ux′＝e·cosx＝eπ(3)设y＝sinu，u＝2x＋，
3
π??则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos?2x＋?. 3??(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝5(log2u)u′(2x＋1)x′＝
10＝uln 2
10x＋
.
usinxucosx.
探究2 复合函数与导数的运算法则的综合应用 例2 求下列函数的导数． (1)y＝x(x＋1)(x＋2)(x＞0)； π?2?(2)y＝sin?2x＋?. 3??
[解] (1)y′＝[x(x＋1)(x＋2)]′＝x′(x＋1)(x＋2)＋x(x＋1)′(x＋2)＋x(x＋1)(x＋2)′＝(x＋1)(x＋2)＋x(x＋2)＋x(x＋1)＝3x＋6x＋2.
π2
(2)设y＝u，u＝sinν，ν＝2x＋，
3则yx′＝yu′·uν′·νx′＝2u·cosν·2 2π??＝4sinνcosν＝2sin2ν＝2sin?4x＋?. 3??[解法探究] 此题有没有其他解法呢？
[解] (1)因为y＝x(x＋1)(x＋2)＝(x＋x)(x＋2)＝x＋3x＋2x， 所以y′＝(x＋3x＋2x)′＝3x＋6x＋2.
π??π??2??(2)y′＝?sin?2x＋??′＝2sin?2x＋?·
33
3
2
2
2
3
2
2
??????
[
sin
(
2x＋
π
3
) ]
′＝
π?π??π?2π????2sin?2x＋?·cos?2x＋?·?2x＋?′＝2sin?4x＋?. 3?3??3?3????
拓展提升
求复合函数的导数需处理好的几个环节
(1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量； (2)中间变量的选择应是基本函数结构； (3)关键是正确分析函数的复合层次；
(4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导； (5)善于把一部分表达式作为一个整体； (6)最后要把中间变量换成自变量的函数．
【跟踪训练2】 求下列函数的导数．
π??π??2
(1)y＝x1＋x；(2)y＝xcos?2x＋?sin?2x＋?.
2??2??解 (1)y′＝(x1＋x)′＝x′1＋x＋x(1＋x)′ ＝1＋x＋
2
2
2
2
x2
1＋x2
＝
＋2x1＋x. 2
1＋x22
π??π??(2)∵y＝xcos?2x＋?sin?2x＋? 2??2??1
＝x(－sin2x)cos2x＝－xsin4x，
2
1x?1?∴y′＝?－xsin4x?′＝－sin4x－cos4x·4 22?2?1
＝－sin4x－2xcos4x.
2探究3 导数的综合应用
例3 设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
7
[解] (1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
41b1
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝2a－＝.①
222
bxbb7
又f′(x)＝a＋2，∴f′(2)＝a＋＝.②
x44