发布时间 : 星期六 文章2018年-2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷1,含答案)更新完毕开始阅读
20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0?p?1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21．（12分）
已知函数f(x)?1?x?alnx． x（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：
f?x1??f?x2??a?2．
x1?x2（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?k|x|?2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2?cos??3?0. （1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程. 23．[选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知f(x)?|x?1|?|ax?1|.
（1）当a?1时，求不等式f(x)?1的解集；
（2）若x?(0,1)时不等式f(x)?x成立，求a的取值范围.
2 5
参考答案：
1 2 C
B
13.6 14.?63 15.16 16.
3 4 5 A
B
D
?332 6 7 A
B
8 9 D
C
10 11 A
B
A
6
12 17.（12分）
解：（1）在△ABD中，由正弦定理得
BDAB. ?sin?Asin?ADB由题设知，
252，所以sin?ADB?. ?5sin45?sin?ADB由题设知，?ADB?90?，所以cos?ADB?1?223?. 2552. 5（2）由题设及（1）知，cos?BDC?sin?ADB?在△BCD中，由余弦定理得
BC2?BD2?DC2?2?BD?DC?cos?BDC
?25?8?2?5?22?2 5?25.
所以BC?5. 18.（12分）
解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF. 又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD. （2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz.
uuuruuur
由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=3.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.
可得PH?33,EH?. 22uuurr3333uuu3),D(?1,?,0),DP?(1,,),HP?(0,0,)为平面ABFD的法向量. 则H(0,0,0),P(0,0,22222
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3uuuruuurHP?DP3设DP与平面ABFD所成角为?，则sin??||uHPuur|?|uDPuur||?43?4.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34. 19.（12分）
解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为(1,22)或(1,?22). 所以AM的方程为y??22x?2或y?22x?2. （2）当l与x轴重合时，?OMA??OMB?0?.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以?OMA??OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y?k(x?1)(k?0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，则xy11?2,x2?2，直线MA，MB的斜率之和为kMA?kMB??y2xx. 1?22?2由y1?kx1?k,y2?kx2?k得
kx1x2?3k(x1?x2)?4kMA?kMB?2k(x?2).
1?2)(x2将y?k(x?1)代入x22?y2?1得 (2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0.
所以，x4k22k2?1?x2?2k2?1,x?21x22k2?1. 则2kx4k3?4k?12k3?8k3?4k1x2?3k(x1?x2)?4k?2k2?1?0. 从而kMA?kMB?0，故MA，MB的倾斜角互补，所以?OMA??OMB. 综上，?OMA??OMB.
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