发布时间 : 星期五 文章2016年各地中考数学解析版试卷分类汇编(第1期):图形的展开与叠折分析更新完毕开始阅读
∴AE=∴MN=
=AE=
=, .
,
故答案为:
三、解答题
1. (2016·新疆)如图,?ABCD中,AB=2,AD=1,∠ADC=60°,将?ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕交CD边于点E. (1)求证:四边形BCED′是菱形;
(2)若点P时直线l上的一个动点,请计算PD′+PB的最小值.
【考点】平行四边形的性质;菱形的判定;轴对称-最短路线问题;翻折变换(折叠问题).【分析】(1)利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA,进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形,进而求出四边形BCED′是平行四边形,根据折叠的性质得到AD=AD′,然后又菱形的判定定理即可得到结论; (2)由四边形DAD′E是平行四边形,得到?DAD′E是菱形,推出D与D′关于AE对称,连接BD交AE于P,则BD的长即为PD′+PB的最小值,过D作DG⊥BA于G,解直角三角形得到AG=,DG=
,根据勾股定理即可得到结论.
【解答】证明:(1)∵将?ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,∴∠DAE=∠D′AE,∠DEA=∠D′EA,∠D=∠AD′E, ∵DE∥AD′, ∴∠DEA=∠EAD′,
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA, ∴∠DAD′=∠DED′,
∴四边形DAD′E是平行四边形, ∴DE=AD′,
∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=DC,AB∥DC, ∴CE=D′B,CE∥D′B, ∴四边形BCED′是平行四边形; ∵AD=AD′, ∴?DAD′E是菱形,
(2)∵四边形DAD′E是菱形, ∴D与D′关于AE对称,
连接BD交AE于P,则BD的长即为PD′+PB的最小值, 过D作DG⊥BA于G, ∵CD∥AB,
∴∠DAG=∠CDA=60°, ∵AD=1, ∴AG=,DG=∴BG=, ∴BD=
=
, . ,
∴PD′+PB的最小值为
【点评】本题考查了平行四边形的性质,最短距离问题,勾股定理,菱形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
2.(2016?江苏省扬州)如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B
落在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处. (1)求证:四边形AECF是平行四边形; (2)若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积.
【考点】矩形的性质;平行四边形的判定与性质;翻折变换(折叠问题).
【分析】(1)首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD,AD∥BC,∠ANF=90°,∠CME=90°,易得AN=CM,可得△ANF≌△CME(ASA),由平行四边形的判定定理可得结论;
(2)由AB=6,AC=10,可得BC=8,设CE=x,则EM=8﹣x,CM=10﹣6=4,在Rt△CEM中,利用勾股定理可解得x,由平行四边形的面积公式可得结果. 【解答】(1)证明:∵折叠,
∴AM=AB,CN=CD,∠FNC=∠D=90°,∠AME=∠B=90°, ∴∠ANF=90°,∠CME=90°, ∵四边形ABCD为矩形, ∴AB=CD,AD∥BC, ∴AM=CN,
∴AM﹣MN=CN﹣MN, 即AN=CM,
在△ANF和△CME中,
,
∴△ANF≌△CME(ASA),
∴AF=CE, 又∵AF∥CE,
∴四边形AECF是平行四边形;
(2)解:∵AB=6,AC=10,∴BC=8, 设CE=x,则EM=8﹣x,CM=10﹣6=4, 在Rt△CEM中, (8﹣x)2+42=x2, 解得:x=5,
∴四边形AECF的面积的面积为:EC?AB=5×6=30.