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3.2 一元二次不等式及其解法
课标要求 学法指导 1.利用图象的直观形象可以准确把握三个“二次”之间的1.知道什么是一元二次不等式. 2.掌握一元二次不等式的解法. 关系,牢固地记忆相关结论. 2.解一元二次不等式的关键是熟练掌握一元二次不等式解集的结构特征,“对号入座”即可快速地写出其解集. 知识探究——自主梳理 思考辨析 1.一元二次不等式
只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,叫做一元二次不等式. 2.二次函数,一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 见附表
题型探究——典例剖析 举一反三 题型一 一元二次不等式的概念
【例1】 判断下列不等式中哪些是一元二次不等式?
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①x>0;②-x-x<1;③2x-4y+1≥0;④ <0;⑤(x+3)(2x-1)≤0;⑥(k+1)x-2x-k>0(k∈R).
解:不等式①②⑤⑥中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2,且最高次项系数不为0,它们都是一元二次不等式;不等式③中含有两个未知数,不是一元二次不等式;不等式④中含有分式,是分式不等式,不是一元二次不等式.
题后反思 一元二次不等式的特点:①含一个未知数,②未知数的最高次数是2,③最高次项系数不为0.
跟踪训练1-1:判断下列不等式是否是一元二次不等式?
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(1)x+ax-3>0;
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(2)-5x-6x+3≤0;
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(3)ax+3x-2≥0;
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(4)3x+2x-1<0.
解: (1)(2)一定是一元二次不等式;(3)中,当a≠0时是一元二次不等式,当a=0时,不是一元二次不等式;(4)不是一元二次不等式. 题型二 一元二次不等式的解法 【例2】 解下列不等式:
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①-2x+x-6<0;
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②-x+6x-9≥0; ③x(7-x)>0;
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④13-9x<0.
解:①原不等式可化为
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2x-x+6>0,
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∵方程2x-x+6=0的判别式
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Δ=(-1)-4×2×6<0,
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∴函数y=2x-x+6的图象开口向上,与x轴无交点(如图). ∴观察图象可得,不等式的解集为R.
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②原不等式可化为x-6x+9≤0,
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即(x-3)≤0,
∴原不等式的解集为{x|x=3}. ③原不等式可化为x(x-7)<0, 方程x(x-7)=0的两根是x=0,
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x=7,
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函数y=x(x-7)的图象是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点(0,0),(7,0)(如图). 观察图象可得,
原不等式解集为{x|0 9x-13>0, 即x-即（x+2 13>0, 91313）（x-）>0, 991313）（x-）=0的两根是 33方程（x+x1=-1313,x2=, 33131313）（x-）的图象是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点（-,0）,333函数y=（x+（13,0）(如图). 3观察图象可得,原不等式解集为 {x︱x<-1313或x>}. 33题后反思 求解一元二次不等式的步骤(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为零,使二次项系数为正. (2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式. (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根. (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的 草图. (5)根据图象写出不等式的解集 2 跟踪训练2-1: (1)若关于x的方程x+mx+1=0有两个不相等的实数根, 则实数m的取值范围是( ) (A)(-1,1) (B)(-2,2) (C)(-∞,-2)∪(2,+∞) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞) 2 (2)(2012年高考湖南卷)不等式x-5x+6≤0的解集为 . 2 解析: (1)由题意知Δ=m-4>0, ∴m<-2或m>2.故选C. 2 (2)x-5x+6≤0,即(x-2)(x-3)≤0.故2≤x≤3. 答案: (1)C (2){x|2≤x≤3} 题型三 简单的分式不等式的解法 【例3】 解下列不等式: (1)(2) 2x?1 ≥0; 3x?12?x>1. x?3???2x?1??3x?1??0, 3x?1?0,??解:(1)原不等式可化为? 11?x??或x?,??32解得? 1?x??,?3?11∴x<-或x≥, 2311∴原不等式的解集为{x︱x<-或x≥}. 23(2)法一 原不等式可化为??x>?3,?x x??x??,??2??2?x?3>0,?x?3<0,或? 2?x?x?32?x?x?3,??1∴-3 21∴原不等式的解集为{x︱-3 2法二 原不等式可化为 ?2?x???x?3?>0,化简得?2x?1>0, x?3x?3即 2x?1 <0,∴(2x+1)(x+3)<0, x?3 1解得-3 21∴原不等式的解集为{x︱-3 2题后反思 分式不等式的解法: 先整理成标准型①② f(x)f(x)>0(<0)或≥0(≤0),再化成整式不等式来解: g(x)g(x)f(x)>0?f(x)·g(x)>0; g(x)f(x)<0?f(x)·g(x)<0; g(x)③④ ?f(x)?g(x)?0,f(x)≥0?? g(x)?0,g(x)??f(x)?g(x)?0,f(x)≤0?? g(x)?0.g(x)?跟踪训练31:(1)(2012年高考重庆卷)不等式(A)(1,+∞) (B)(-∞,-2) (C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞) (2)不等式 x?1<0的解集为( ) x?2 2?x>0的解集是 . x?4解析:(1)法一 将x=0代入验证可排除选项A、B、D.故选C. 法二 x?1<0?(x-1)(x+2)<0,解得-2 2?x>0?(2-x)(x+4)>0, x?4