发布时间 : 星期日 文章【五年高考真题】2019届高考理科数学复习 第九章 第三节 椭圆及其性质更新完毕开始阅读
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(1)求椭圆E的方程；
?9?(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G?－，0?与以线段AB为直?径的圆的位置关系，并说明理由． 解 法一 (1)由已知得，
??b＝2，a＝2?c22
2
解得?，b＝2，所以椭圆E的方程为x＋y＝?a＝2，?42
1. ?a2
＝b2
＋c2
.?c＝2.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0)．
??x＝my－1，??x2y2
?4＋2
＝1得(m2
＋2)y2
－2my－3＝0. 所以y1＋y2m2＝m2＋2，y3
1y2
＝－m2＋2， 从而ym0＝
m2＋2
. 所以|GH|2
＝??92
?
x0＋4??2
?＋y0
?5?2
＝??
my2
0＋4??＋y0
＝(m2＋1)y2
5250＋2my0＋16.
|AB|2
（x2
2
1－x2）＋（y1－y24＝）
4 2
2
＝（1＋m）（y1－y2）4
2
2
＝（1＋m）[（y1＋y 2）－4y1y2]4
＝(1＋m2
)(y20－y1y2)，
2
故|GH|2
－|AB|4＝52my＋(1＋m2
)y2501y2＋16
22
＝5m3（1＋m）25
2（m2
＋2）－m2＋2＋16 2
＝17m＋216（m2
＋2）
＞0， 试题习题，尽在百度
4?
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|AB|
所以|GH|＞.
2
?9?故点G?－，0?在以AB为直径的圆外． ?4?
法二 (1)同法一．
9→??(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则GA＝?x1＋，y1?， 4??→??GB＝?x2＋，y2?.
?
9
4
?
x＝my－1，??22由?xy得
＋＝1??42
(m＋2)y－2my－3＝0， 所以y1＋y2＝
2m3
，y1y2＝－2， m＋2m＋2
2
2
2
9??9?→→?
从而GA·GB＝?x1＋??x2＋?＋y1y2
4??4??5??5??＝?my1＋??my2＋?＋y1y2
4??4??
5252
＝(m＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋ 41652
m－3（m＋1）225＝＋＋
m2＋2m2＋216
2
17m＋2＝＞0， 2
16（m＋2）→→
所以cos〈GA，GB〉＞0.
→→
又GA，GB不共线，所以∠AGB为锐角．
2
?9?故点G?－，0?在以AB为直径的圆外． ?4?
考点二 椭圆的几何性质
1．(2013·浙江，9)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y＝1与双曲线C2
4的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( ) A.2
B.3 D.6 2
C.
3 2
x2
2
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解析 椭圆C1中，|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝23. 又因为四边形AF1BF2为矩形， 所以∠F1AF2＝90°.
所以|AF1|＋|AF2|＝|F1F2|， 所以|AF1|＝2－2，|AF2|＝2＋2.
所以在双曲线C2中，2c＝23，2a＝|AF2|－|AF1|＝22， 故e＝＝答案 D
2
2
2
ca32
＝
6
，故选D. 2
x2y2
2．(2012·新课标全国，4)设F1，F2是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线xab＝
3a上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( ) 2
2B. 3
3C. 4
4D. 5
1A. 2
3a解析 设直线x＝与x轴交于点M，
2
则∠PF2M＝60°，
在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c， 3aF2M＝－c，
2
3a－cF2M21
故cos 60°＝＝＝，
PF22c2
c33
解得＝，故离心率e＝.
a44
答案 C
1xy3．(2014·江西，15)过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)相交于
2ab2
2
A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得
（x1－x2）（x1＋x2）
a2
＋
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（y1－y2）（y1＋y2）y1－y2
＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－2
bx1－x2122?1?c22222222
，所以2＋2×?－?＝0，得a＝2b，所以a＝2(a－c)，整理得a＝2c得＝，所2ab?2?a2以e＝答案
2
. 22 2
x2y2
4．(2013·福建，14)椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若
ab直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析 由直线y＝3(x＋c)知其倾斜角为60°， 由题意知∠MF1F2＝60°， 则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°. 故|MF1|＝c，|MF2|＝3c.
又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴(3＋1)c＝2a， 即e＝答案
23＋1
＝3－1.
3－1
x2y2
5．(2013·辽宁，15)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交
ab4
于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝
5________. 解析 如图所示．
根据余弦定理|AF|＝|BF|＋|AB|－2|AB|·|BF|cos∠ABF，即|BF|－16|BF|＋64＝0， 得|BF|＝8.
又|OF|＝|BF|＋|OB|－2|OB|·|BF|cos∠ABF，得|OF|＝5. 根据椭圆的对称性|AF|＋|BF|＝2a＝14，得a＝7. 5
又|OF|＝c＝5，故离心率e＝. 7
2
2
22
2
2
2
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