【五年高考真题】2019届高考理科数学复习 第九章 第三节 椭圆及其性质

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(1)求椭圆E的方程;

?9?(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G?-,0?与以线段AB为直?径的圆的位置关系,并说明理由. 解 法一 (1)由已知得,

??b=2,a=2?c22

2

解得?,b=2,所以椭圆E的方程为x+y=?a=2,?42

1. ?a2

=b2

+c2

.?c=2.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).

??x=my-1,??x2y2

?4+2

=1得(m2

+2)y2

-2my-3=0. 所以y1+y2m2=m2+2,y3

1y2

=-m2+2, 从而ym0=

m2+2

. 所以|GH|2

=??92

?

x0+4??2

?+y0

?5?2

=??

my2

0+4??+y0

=(m2+1)y2

5250+2my0+16.

|AB|2

(x2

2

1-x2)+(y1-y24=)

4 2

2

=(1+m)(y1-y2)4

2

2

=(1+m)[(y1+y 2)-4y1y2]4

=(1+m2

)(y20-y1y2),

2

故|GH|2

-|AB|4=52my+(1+m2

)y2501y2+16

22

=5m3(1+m)25

2(m2

+2)-m2+2+16 2

=17m+216(m2

+2)

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4?

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|AB|

所以|GH|>.

2

?9?故点G?-,0?在以AB为直径的圆外. ?4?

法二 (1)同法一.

9→??(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则GA=?x1+,y1?, 4??→??GB=?x2+,y2?.

?

9

4

?

x=my-1,??22由?xy得

+=1??42

(m+2)y-2my-3=0, 所以y1+y2=

2m3

,y1y2=-2, m+2m+2

2

2

2

9??9?→→?

从而GA·GB=?x1+??x2+?+y1y2

4??4??5??5??=?my1+??my2+?+y1y2

4??4??

5252

=(m+1)y1y2+m(y1+y2)+ 41652

m-3(m+1)225=++

m2+2m2+216

2

17m+2=>0, 2

16(m+2)→→

所以cos〈GA,GB〉>0.

→→

又GA,GB不共线,所以∠AGB为锐角.

2

?9?故点G?-,0?在以AB为直径的圆外. ?4?

考点二 椭圆的几何性质

1.(2013·浙江,9)如图,F1,F2是椭圆C1:+y=1与双曲线C2

4的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( ) A.2

B.3 D.6 2

C.

3 2

x2

2

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解析 椭圆C1中,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=23. 又因为四边形AF1BF2为矩形, 所以∠F1AF2=90°.

所以|AF1|+|AF2|=|F1F2|, 所以|AF1|=2-2,|AF2|=2+2.

所以在双曲线C2中,2c=23,2a=|AF2|-|AF1|=22, 故e==答案 D

2

2

2

ca32

6

,故选D. 2

x2y2

2.(2012·新课标全国,4)设F1,F2是椭圆E:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线xab=

3a上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( ) 2

2B. 3

3C. 4

4D. 5

1A. 2

3a解析 设直线x=与x轴交于点M,

2

则∠PF2M=60°,

在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c, 3aF2M=-c,

2

3a-cF2M21

故cos 60°===,

PF22c2

c33

解得=,故离心率e=.

a44

答案 C

1xy3.(2014·江西,15)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:2+2=1(a>b>0)相交于

2ab2

2

A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.

解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得

(x1-x2)(x1+x2)

a2

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(y1-y2)(y1+y2)y1-y2

=0,根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且=-2

bx1-x2122?1?c22222222

,所以2+2×?-?=0,得a=2b,所以a=2(a-c),整理得a=2c得=,所2ab?2?a2以e=答案

2

. 22 2

x2y2

4.(2013·福建,14)椭圆Γ:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若

ab直线y=3(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.

解析 由直线y=3(x+c)知其倾斜角为60°, 由题意知∠MF1F2=60°, 则∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°. 故|MF1|=c,|MF2|=3c.

又|MF1|+|MF2|=2a,∴(3+1)c=2a, 即e=答案

23+1

=3-1.

3-1

x2y2

5.(2013·辽宁,15)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交

ab4

于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=

5________. 解析 如图所示.

根据余弦定理|AF|=|BF|+|AB|-2|AB|·|BF|cos∠ABF,即|BF|-16|BF|+64=0, 得|BF|=8.

又|OF|=|BF|+|OB|-2|OB|·|BF|cos∠ABF,得|OF|=5. 根据椭圆的对称性|AF|+|BF|=2a=14,得a=7. 5

又|OF|=c=5,故离心率e=. 7

2

2

22

2

2

2

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