发布时间 : 星期四 文章河北省重点中学2013届高三联考数学理试题（WORD解析版）更新完毕开始阅读
由勾股定理得又=． ． ∴三棱锥C﹣A1B1C1的体积V=（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0）， A1（0，0，），B1（0，1，），D1（﹣1，0，∴设平面ADB1的法向量为，， =； ），C1（﹣1，1，，）． ． 则，即， 令z=1，则y=，x=0，∴． 设直线BD1与平面ADB1所成角为θ， 则=== 点熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法求空间角、空间距离、线面垂直的判定与性质、三棱锥的体积计算公评： 是解题的关键． 20．（12分）（2012?河北模拟）第11届全国人大五次会议于2012年3月5日至3月14日在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语． （I）根据以上数据完成以下2×2列联表： 会俄语 不会俄语 总计
男 女 30 总计 并回答能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？ 参考公式：K2=
其中n=a+b+c+d
参考数据： 20.40 0.25 0.10 0.010 P（K≥k0） 0.708 1.323 2.706 6.635 k0 （II）若从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组，则小组中既有男又有女的概率是多少？ （III）若从14名女记者中随机抽取2人担任翻译工作，记会俄语的人数为ξ，求ξ的期望． 考点： 独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差． 专题： 计算题；概率与统计． 分析： （Ⅰ）先根据以上数据完成以下2X2列联表，再假设是否会俄语与性别无关，然后由已知数2据可求得k进行判断． （Ⅱ）从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组，有的选法有种选法，小组中既有男又有女种选法，由此能求出小组中既有男又有女的概率． （Ⅲ）会俄语的人数ξ的取值分别为0，1，2．分别求出其概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ． 解答： （本题满分12分） 解：（Ⅰ）如下表： 会俄语 不会俄语 总计 10 6 16 男 6 8 14 女 16 14 30 总计 …（2分） 假设：是否会俄语与性别无关． 由已知数据可求得所以在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会俄语与性别有关；…（5分） （Ⅱ）从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组，有小组中既有男又有女的选法有种选法， 种选法， ∴小组中既有男又有女的概率（Ⅲ）会俄语的人数ξ的取值分别为0，1，2． ； …（8分）
其概率分别为， P（ξ=1）==， P（ξ=2）==，…（10分） 所以ξ的分布列为： ξ 0 1 P 2 ．…（12分） 点评： 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用． 21．（12分）（2012?河北模拟）如图，已知椭圆
，梯形ABCD（AB∥CD∥y
轴，|AB|＞|CD|）内接于椭圆C．
（I）设F是椭圆的右焦点，E为OF（O为坐标原点）的中点，若直线AB，CD分别经过点E，F，且梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，求椭圆C的离心率；
（II）设H为梯形ABCD对角线的交点，|AB|=2m，|CD|=2n，|OH|=d，是否存在正实数λ使得
恒成立？若成立，求出λ的最小值，若不存在，请说明理由．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （I）利用梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，可得|AE|=|ED|，由此建立方程，求得几何量之间的关系，从而可求椭圆C的离心率； （II）先确定H在x轴上，再利用韦达定理表示出m﹣n，进而利用基本不等式，即可求得结论． 解答： 解：（I）设F（c，0），则E（，0），D（c，），A（） 由题意，梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，则|AE|=|ED|，所以
化简得2a=3c，所以椭圆的离心率22； （II）根据对称性知识，可得H在x轴上，设H（x0，0），则|x0|=d 222设直线BD的方程为x=ty+x0，代入椭圆方程，消去x得（a+bt）y+2y+=0 设B（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=﹣由题意，m=|y1|，n=|y2|，且y1，y2异号 ∵m＞n＞0 ∴m﹣n=|y1+y2|=|﹣|= ∴=≤ ∴存在正实数λ使得恒成立，且λ的最小值为1． 点评： 本题考查椭圆的离心率，考查存在性问题，考查学生的计算能力，属于中档题． 22．（12分）（2012?河北模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x+ax﹣2 （I）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（II）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围． 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值． 专题： 导数的概念及应用． 分析： （I）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值； （II）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论． 解答： 解：（I）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=， 2
∴∴①0＜t＜，时，函数f（x）在（t，）上单调递减，在（，t+2）上单调递增， ∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f（）=﹣， ②当t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增， ∴f（x）min=f（t）=tlnt，
∴f（x）min=； 2（II）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x+ax﹣2，则y′=lnx﹣2x+1+a 题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2）， 即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2）， 等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点 ∵G′（x）=﹣+2，，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增， 画出函数图象的大致形状（如右图）， 由图象知，当a＞G（x）min=G（））=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a的增大而增大而当x2﹣x1=ln2时，由题意， 两式相减可得ln=2（x2﹣x1）=2ln2 ∴x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1=ln2， 此时a=ln2﹣ln（）﹣1， ）﹣1； 所以，实数a的取值范围为a＞ln2﹣ln（ 点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查的知识点比较多，考查数形结合的数学思想，综合性强．