发布时间 : 星期四 文章河北省重点中学2013届高三联考数学理试题(WORD解析版)更新完毕开始阅读
由勾股定理得又=. . ∴三棱锥C﹣A1B1C1的体积V=(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0), A1(0,0,),B1(0,1,),D1(﹣1,0,∴设平面ADB1的法向量为,, =; ),C1(﹣1,1,,). . 则,即, 令z=1,则y=,x=0,∴. 设直线BD1与平面ADB1所成角为θ, 则=== 点熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法求空间角、空间距离、线面垂直的判定与性质、三棱锥的体积计算公评: 是解题的关键. 20.(12分)(2012?河北模拟)第11届全国人大五次会议于2012年3月5日至3月14日在北京召开,为了搞好对外宣传工作,会务组选聘了16名男记者和14名记者担任对外翻译工作,调查发现,男、女记者中分别有10人和6人会俄语. (I)根据以上数据完成以下2×2列联表: 会俄语 不会俄语 总计
男 女 30 总计 并回答能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关? 参考公式:K2=
其中n=a+b+c+d
参考数据: 20.40 0.25 0.10 0.010 P(K≥k0) 0.708 1.323 2.706 6.635 k0 (II)若从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组,则小组中既有男又有女的概率是多少? (III)若从14名女记者中随机抽取2人担任翻译工作,记会俄语的人数为ξ,求ξ的期望. 考点: 独立性检验的应用;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)先根据以上数据完成以下2X2列联表,再假设是否会俄语与性别无关,然后由已知数2据可求得k进行判断. (Ⅱ)从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组,有的选法有种选法,小组中既有男又有女种选法,由此能求出小组中既有男又有女的概率. (Ⅲ)会俄语的人数ξ的取值分别为0,1,2.分别求出其概率,由此能求出ξ的分布列和Eξ. 解答: (本题满分12分) 解:(Ⅰ)如下表: 会俄语 不会俄语 总计 10 6 16 男 6 8 14 女 16 14 30 总计 …(2分) 假设:是否会俄语与性别无关. 由已知数据可求得所以在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会俄语与性别有关;…(5分) (Ⅱ)从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组,有小组中既有男又有女的选法有种选法, 种选法, ∴小组中既有男又有女的概率(Ⅲ)会俄语的人数ξ的取值分别为0,1,2. ; …(8分)
其概率分别为, P(ξ=1)==, P(ξ=2)==,…(10分) 所以ξ的分布列为: ξ 0 1 P 2 .…(12分) 点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,是历年高考的必考题型之一.解题时要认真审题,仔细解答,注意排列组合和概率知识的灵活运用. 21.(12分)(2012?河北模拟)如图,已知椭圆
,梯形ABCD(AB∥CD∥y
轴,|AB|>|CD|)内接于椭圆C.
(I)设F是椭圆的右焦点,E为OF(O为坐标原点)的中点,若直线AB,CD分别经过点E,F,且梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上,求椭圆C的离心率;
(II)设H为梯形ABCD对角线的交点,|AB|=2m,|CD|=2n,|OH|=d,是否存在正实数λ使得
恒成立?若成立,求出λ的最小值,若不存在,请说明理由.
考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)利用梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上,可得|AE|=|ED|,由此建立方程,求得几何量之间的关系,从而可求椭圆C的离心率; (II)先确定H在x轴上,再利用韦达定理表示出m﹣n,进而利用基本不等式,即可求得结论. 解答: 解:(I)设F(c,0),则E(,0),D(c,),A() 由题意,梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上,则|AE|=|ED|,所以
化简得2a=3c,所以椭圆的离心率22; (II)根据对称性知识,可得H在x轴上,设H(x0,0),则|x0|=d 222设直线BD的方程为x=ty+x0,代入椭圆方程,消去x得(a+bt)y+2y+=0 设B(x1,y1),D(x2,y2),则y1+y2=﹣由题意,m=|y1|,n=|y2|,且y1,y2异号 ∵m>n>0 ∴m﹣n=|y1+y2|=|﹣|= ∴=≤ ∴存在正实数λ使得恒成立,且λ的最小值为1. 点评: 本题考查椭圆的离心率,考查存在性问题,考查学生的计算能力,属于中档题. 22.(12分)(2012?河北模拟)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=﹣x+ax﹣2 (I)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(II)若函数y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点x1,x2(x1<x2)且x2﹣x1>ln2,求实数a的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (I)求导数,再分类讨论,确定函数在区间上的单调性,即可求得函数的最小值; (II)函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根,进而转化为图象的交点问题,由此可得结论. 解答: 解:(I)由f′(x)=lnx+1=0,可得x=, 2
∴∴①0<t<,时,函数f(x)在(t,)上单调递减,在(,t+2)上单调递增, ∴函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值为f()=﹣, ②当t≥时,f(x)在[t,t+2]上单调递增, ∴f(x)min=f(t)=tlnt,
∴f(x)min=; 2(II)y=f(x)+g(x)=xlnx﹣x+ax﹣2,则y′=lnx﹣2x+1+a 题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1,x2(x1<x2), 即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1,x2(x1<x2), 等价于直线y=a与函数G(x)=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点 ∵G′(x)=﹣+2,,∴G(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增, 画出函数图象的大致形状(如右图), 由图象知,当a>G(x)min=G())=ln2时,x1,x2存在,且x2﹣x1的值随着a的增大而增大而当x2﹣x1=ln2时,由题意, 两式相减可得ln=2(x2﹣x1)=2ln2 ∴x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1=ln2, 此时a=ln2﹣ln()﹣1, )﹣1; 所以,实数a的取值范围为a>ln2﹣ln( 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查的知识点比较多,考查数形结合的数学思想,综合性强.