发布时间 : 星期一 文章§17.3 方向导数与梯度 数学分析课件（华师大 四版） 高教社ppt 华东师大教材配套课件 - 图文更新完毕开始阅读
数学分析 第十七章 多元函数微分学 在许多问题中, 不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率 (即偏导数), 而且还要知道在其他特定方向上的变化率,这就是本节所要讨论的方向导数. §3 方向导数与梯度 §3 方向导数与梯度
定义1 设函数 f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)的某邻域3U(P0)?R内有定义，l为从点P0出发的射线.P(x,y,z)?lU(P0),记??|P0P|，任给 若极限 ?lff(P)?f(P0)lim??lim???0???0?存在, 则称此极限为函数 f 在点 P 0沿方向 l 的 ?f方向导数, 记作 ,fl(P0)或fl(x0,y0,z0). ?lP0数学分析 第十七章 多元函数微分学 高等教育出版社 不难看出: 若f在点P0存在对x的偏导数，则f 在点P0沿x轴正方向的方向导数恰为 后退 前进 目录 退出
§3 方向导数与梯度
fl(P0)?fx(P0)(l??Ox);当 l 的方向为 x 轴的负方向时，则有
fl(P0)??fx(P0)(l??Ox);对于fy与fz也有相应的结论． 若 f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)可微，则 f 在点 P0沿任一方向 l的方向导数都存在, 且
fl(P0)?fx(P0)cos??fy(P0)cos??fz(P0)cos?,(1)cos?,cos?,cos?为 其中 l的方向余弦．
证 设 P(x,y,z)为 l 上任一点，于是有
数学分析 第十七章 多元函数微分学 高等教育出版社 §3 方向导数与梯度
?x?x?x0??cos?,???y?y?y0??cos?,???z?z?z0??cos?.?由假设 f在点 P0可微，则有
(2) Oz?zP0??xlP??yyx图17 – 5 f(P)?f(P0)?fx(P0)?x?fy(P0)?y?fz(P0)?z?o(?).上式左、右两边皆除以?, 并根据(2)式可得 数学分析 第十七章 多元函数微分学 高等教育出版社