发布时间 : 星期一 文章（人教版）2020届高考数学一轮复习 第三章 课堂达标17 同角三角函数基本关系及诱导公式 文 新人教版更新完毕开始阅读
课堂达标(十七) 同角三角函数基本关系及诱导公式
[A基础巩固练]
3?ππ?1．(2018·济南质检)α∈?－，?，sin α＝－，则cos(－α)的值为( ) 5?22?443
A．－ B. C.
555
3
D．－
5
3?ππ?[解析] 因为α∈?－，?，sin α＝－， 5?22?44
所以cos α＝，即cos(－α)＝，故选B.
55[答案] B
2．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 018)的值为( )
A．－1 C．3
B．1 D．－3
[解析] ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，∴f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)＝asin α＋bcos β＝3.即f(2 018)＝3.
[答案] C
?π?3．(2018·石家庄模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos?＋β?＋5＝0，tan(π
?2?
＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )
A.
35373101
B. C. D. 57103
[解析] 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α310
＝3，故sin α＝.
10
[答案] C
π
4．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sin α等于( )
3A．－33 B. 22
11C．－ D.
22
π
[解析] 因为α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)．又
2
β＝－，所以α＝2kπ＋
π35π1(k∈Z)，即得sin α＝. 62
1
[答案] D
π11
5．已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则2的值为( ) 2
25cosα－sinα7725
A. B. C. 5257
24
D．－
25
11
[解析] ∵sin α＋cos α＝，∴1＋sin 2α＝，
52524π
即sin 2α＝－，又∵－<α<0，∴cos α－sin α>0.
2527
∴cos α－sin α＝1－sin 2α＝，
5∴
1125
＝＝. 2
cosα－sinαcos α＋sin αcos α－sin α7
2
[答案] C
?π?6．(2018·辽宁沈阳三模)若sinα＋3sin?＋α?＝0，则cos2α的值为( )
?2?
33
A．－ B.
5544C．－ D.
55
πsinα[解析] 由sinα＋3sin(＋α)＝0，则sinα＋3cosα＝0，可得：tanα＝＝
2cosα1－tanα1－94
－3；则cos2α＝cosα－sinα＝2＝＝－.故选C.
tanα＋11＋95
2
2
2
[答案] C
3π??tanπ－αcos2π－αsin?－α＋?2??
7．化简：＝______.
cos－α－πsin－π－α－tan α·cos α·－cos α[解析] 原式＝
cosπ＋α·－sinπ＋αsin α·cos αtan α·cos α·cos αcos α＝＝＝－1.
－cos α·sin α－sin α[答案] －1
8．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，
?3π＋θ?＋cos(π－θ)??2?则＝ ________ .
π??sin?－θ?－sinπ－θ?2?
sin?
2
[解析] 由题意可得tan θ＝2， －cos θ－cos θ－2原式＝＝＝2.
cos θ－sin θ1－tan θ[答案] 2
?π??5π??2π?9．已知cos?－θ?＝a(|a|≤1)，则cos?＋θ?＋sin?－θ?的值是______． ?6??6??3?
[解析] cos?
?5π＋θ?＝cos?π－?π－θ??
???6??
?6?????
?π?＝－cos?－θ?＝－a. ?6?
sin?
π??＝cos?π－θ?＝a， ?2π－θ?＝sin?π＋?－θ????6??2??6???3????
∴cos?
?5π＋θ?＋sin?2π－θ?＝0.
??3?
?6???
[答案] 0
1cosπ＋θ10．已知sin(3π＋θ)＝，求＋
3cos θ[cosπ－θ－1]
cosθ－2π
3π???3π?sin?θ－?cosθ－π－sin?＋θ?2???2?
的值．
11
[解] ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝，∴sin θ＝－.
33
－cos θcos θ∴原式＝＋
cos θ－cos θ－1cos θ·－cos θ＋cos θ＝
1cos θ1122
＋＝＋＝＝＝222
1＋cos θ－cosθ＋cos θ1＋cos θ1－cos θ1－cosθsinθ2
＝18. ?－1?2?3???
[B能力提升练]
1．(2018·厦门模拟)已知cos 31°＝a，则sin 239°·tan 149°的值是( ) A.1－a2
a B.1－a
D．－1－a
2
2
a2－1C.
a[解析] sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos 31°)·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－a.
[答案] B
2
3
2．设A，B，C为△ABC的三个内角，有以下表达式： (1)sin(A＋B)＋sin C； (2)cos(A＋B)＋cos C； (3)tan?
2
?A＋B?tan C；
?2?2??A＋B?＋sin2C. ?2?2?
B．2个 D．4个
(4)sin?
不管△ABC的形状如何变化，始终是常数的表达式有( ) A．1个 C．3个
[解析] (1)sin(A＋B)＋sin C＝sin(π－C)＋sinC＝2sin C，不是常数； (2)cos(A＋B)＋cos C＝cos(π－C)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0，是常数； (3)tan?
2
?A＋B?tan C＝tan?π－C?tan C＝1，是常数； ??22?22?2???
A＋BC?2C2?π2C2C2C)＋sin＝sin?－?＋sin＝cos＋sin＝1，是常数．故始终是常数22222?22?
(4)sin(
的表达式有3个，选C.
[答案] C
3．(2018·新疆阿勒泰二模)已知α为第二象限角，则cos α1＋tanα＋sin α 1
1＋2＝______. tanα[解析] 原式＝cos αsinα＋cosα＋sin α 2
cosα222
sinα＋cosα＝cos 2
sinα22α11
＋ sin α，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所
|cos α||sin α|
11以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，即原式等于0.
|cos α||sin α|
[答案] 0
4．(2018·辽宁五校第二次联考)已知sin x＝则tan x＝______.
[解析] 由sinx＋cosx＝1，即(
2
2
m－34－2m3π
，cos x＝，且x∈(，2π)，m＋5m＋52
m－324－2m23π
)＋()＝1，得m＝0或m＝8.又x∈(，m＋5m＋52
34
2π)，∴sin x<0，cos x>0，∴当m＝0时，sin x＝－，cos x＝，
55
3
此时tan x＝－；当m＝8时，
4
4
5123
sin x＝，cos x＝－(舍去)，综上知：tan x＝－. 131343
[答案] －
4
5．已知A、B、C是三角形的内角，3sin A，－cos A是方程x－x＋2a＝0的两根． 2
(1)求角A；
(2)若1＋2sin B cos Bcos2B－sin2
B＝－3，求tan B. [解] (1)由已知可得，3sin A－cos A＝1.① 又sin2
A＋cos2
A＝1，∴sin2
A＋(3sin A－1)2
＝1， 即4sin2A－23sin A＝0，得sin A＝0(舍去)或sin A＝
32
. ∴A＝π3或2π3，将A＝π3或2π2π3代入①知A＝3π时不成立，∴A＝3.
(2)由1＋2sin Bcos Bcos2B－sin2B＝－3， 得sin2
B－sin Bcos B－2cos2
B＝0. ∵cos B≠0，∴tan2
B－tan B－2＝0， ∴tan B＝2或tan B＝－1.
∵tan B＝－1使cos2
B－sin
2B＝0，舍去．故tan B＝2.
[C尖子生专练]
若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos B－sin A，sin B－cos A)在( A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
[解析] ∵△ABC是锐角三角形，则A＋B＞π
2，
∴A＞π2－B＞0，B＞π
2
－A＞0.
∴sin A＞sin??π?2－B???＝cos B，sin B＞sin??π??2－A??
＝cos A.
∴cos B－sin A＜0，sin B－cos A＞0. ∴点P在第二象限，选B. [答案] B
) 5