发布时间 : 星期日 文章课题：课本（七上）将军饮马及其拓展 - - 最短路径问题导学案更新完毕开始阅读
课题：课本（七上）将军饮马及其拓展————最短路径问题导学案
夏格庄中心中学 陈翠庆
【学习目标】：能利用轴对称、勾股定理解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．数形结合的思想 【学习重点：】 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题．利用勾股定理构造直角三角形，求最短距离 学案说明：1、要求：请先独立思考解题思路和方法，然后小组合作交流，派代表说出思路及解决办法，或提出疑问 2、带*号的题可作为课后题 【学习过程】 一、基础知识回顾
1、轴对称的性质：_________________________________.
2、线段的性质：两点之间，_________最短.三角形三边的关系 3、勾股定理：____________________________________. 4、常见的轴对称图形有哪些？ 二、问题探究
活动一（作一次轴对称）
如图，A、B是分别在河异侧的两村庄，现要在河边修建一个水泵站向两村庄送水，水泵站建在何处才能使所用水管最短？
B
问题2（七年级上册课本第48页第5题古希腊有名的将军饮马问题）如图，直线l是草原上的一条河。将军从草原的A地出发到河边饮马，然后再到B地军营视察。那么走什么样的路线行程最短呢？请在图中画出最短路线，并说明理由
_ A _ B
小结：1、问题1中的点A、B是定点，点P是在直线l上的 点，当点P运动到使线段AP、BP在 直线上时，PA+PB最小
2、利用轴对称把问题2中的A、B在直线l同侧问题转化为 问题 变式1
如图所示,P和Q为⊿ABC边AB 与AC上两点在BC上求作一点M.使∠PQM得周长最小
A .P
B
. Q C
变式2如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE＝3，BE＝1，P是AC上的动点，则⊿BEP周长的最小值是________． 【问题3】
⊥CD于C,BD⊥CD于B,AC=20千米，BD=10千米，则两个村庄的距离是 千米 如图所示，两个村庄A、B在铁路CD两侧，且CD= 40千米，AC
小结：构造直角三角形，利用 ，求最短距离 变式1
如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．
(1)水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短(请你在图中设计出水厂的位置)；
(2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？
C D B A
变式2
如图，圆柱形玻璃杯(无盖)高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm． 变式4
如图，已知A、B两村庄的坐标分别为 （2，2）、（7，4），一辆汽车在x轴上 行驶，从原点O出发． （1）汽车行驶到什么位置时离A村最近？ 写出此点的坐标． （2）汽车行驶到什么位置时离B村最近？ 写出此点的坐标．
（3）请在图中画出汽车 行驶到什么位置时，距离两村的和最短？求出最短的距离之和。你还能求出该点的坐标吗？
问题4火眼金睛辨得清
1、如图，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水。
（1）若要使水厂到A、B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ （2）若要使水厂到A、B村的水管最省料 ，应建在什么地方？
*2、如图，A和B两个村庄在一条河的两岸(河两岸平行)，为了使A、B两村的交通更加便利，现要在河上建一座桥．要求这座桥要垂直于河岸，同时到两村的距离相等．应如何设计，请画图说明． 活动二（作两次轴对称）
问题5
(1)如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB于点M、N，连接PM，PN； （2）若P1P2=5cm，则△PMN的周长为______． （3）观察若点P是定点，（1）中的作法，使线段PM、PN、MN在一条直线上，此时△PMN的周长最______ 变式1如图点P是∠AOB内一点，在边OA、OB分别求作一点C、D使△PCD的周长最小
变式2如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，问：这位将军怎样走路程最短？
M
O
N
变式3如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB于点M、N，连接PM，PN；