发布时间 : 星期六 文章常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习第2章习题 第二章答案更新完毕开始阅读
此方程为全微分方程，即 1y?x2y?c. （6）．y(1?xy)dx?xdy?0；
解：方程两边同乘
1y2， 则 xdx?(1ydx?xy2dy)?0， 此方程为全微分方程，即
xy?12x2?c. （7）y3dx?2(x2?xy2)dy?0；
解：方程两边同乘1y22yx2y， 则 (x2dx?xdy)?2ydy?0， 此方程为全微分方程，即 ?y2x?2lny?c （8）．exdx?(exctgy?2yocsy)dy?0
解：方程两边同乘siny， 则
(exsinydx?excosydy)?ycsin2ydy?0 ，
此方程为全微分方程excosy?12ycos2y?14sin2y?c. 2. 证明方程（5.1）有形如???(?(x,y))的积分因子的充要条件是
?P?Q?y??x?f(?Q?Q?(x,y))，并写出这个积分因子。然后将结果应用
?x?PP?y到下列
各种情形，得出存在每一种积分因子的充要条件:
（1）???(x?y) ; （2）???(x2?y2) ; （3）???(xy);
（4）???(yx); （5）???(x?y?).
证明：? 若???(?(x,y))是P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0的积分因子,
则?(?(?(x,y)P(x,y))?y??(?(?(x,y)Q(x,y))?x，
即
?P?y?(?(x,y))???(?(x,y))???yP=?Q??即
?x?(?(x,y))???(?(x,y))?xQ
（?）以上过程 可逆，故充分性显然.
，?P?Q （1）?y??xQ?P?f(x?y) （2）
?P?Q?y??x?f(x22xQ?2yP?y2)
?P?Q （3）?y??xyQ?xP?f(xy) （4）
?P?y??Q?x?fy?y1(x)
x2Q?xP?P?Q （5）?y??x?x??1y?Q??x?y??1P?f(x?y?) 3. 证明齐次方程P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0有积分因子
??1xP?yQ.
证明：作变换y?ux，则由P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0是齐次方程，我们有
P(x,ux)dx?Q(x,ux)(udx?xdu) ?[xmP(1,u)?uxmQ(1,u)]dx?xm?1Q(1,u)du
?0 方程两边同乘
11yQ?xP?xm?1[P(1,u)?uQ(1,u)]，则有
1Q(xdx?1,u)P(1,u)?uQ(1,u)du?0，显然此方程为全微分方程． 4. 证明定理６及其逆定理：在定理６的假定下，若 ?1是微分方程(5.1)
的另一个积分因子，则 ?1必可表为?1??g(?)的形式，其中函数
g
和?的意义与在定理６中相同． 证明：（定理６）
因为???(?(x,y))是（5.1）的积分因子，且使得： ?P(x,y)dx??Q(x,y)dy?d?(x,y)，
则???x??P(x,y)，???y??Q(x,y)dy. 要判断是否为积分因子，只需验证下列等式成立：
?(?P(x,y))?yg(?(x,y))??P(x,y)g????y?
?(?Q(x,y))?xg(?(x,y))??Q(x,y)g????x,
显然
?(?P(x,y))?(?Q(x,y?y?))?x,
且?P(x,y)g????y??Q(x,y)g????x， 所以 ?1??g(?)是
的积分因子．
（逆定理）由定理条件假定?也是(5.1)的积分因子且使得
?P(x,y)dx??Q(x,y)dy?d?(x,y).
设?1是微分方程(5.1)的另一个积分因子,且设?1??f(x,y)
?f(x,y)P(x,y)dx??f(x,y)Q(x,y)dy?d?(x,y),
则
?(?P(x,y))?(?Q(?y?x,y))?x,
即
?f?y?P(x,y)?f(x,y)?(?P(x,y))?y??f?y?Q(x,y)?f(x,y)?(?Q(x,y))?y, 所以
?fd??ydx??fd??xdy, 则f?g(?(x,y))．
５．设函数P(x,y),Q(x,y),?1(x,y),?2(x,y)都是连续可微的，而且?1,?2是微分方程(5.1) 的两个积分因子,
?1(x,y)?常数。试证?1??2(x,y)?c是方程（5.1）的一个
2通积分.
证明：利用P47 的定理６ 令g(?(x,y))??(x,y)，
则?1(x,y))??(x,y)?(x,y)是(5.1)的积分因子，
即 ?1(x,y?(x,y?))?(x,y, )显然有?(x,y)是方程(5.1)的通
积分.
(5.1) 习 题 ２-6
１．求下列各曲线族的正交轨线族： （１）x2?y2?c；
??x2?y2?cxdyy2?x2解：由方程得：， 消去c有:?, ?(2x?c)dx?2ydy?0dx2xy 则所求正交轨线的微分方程为 dy2xydx?x2?y2， 亦即2xydx?(x2?y2)dy?0，
所以所求正交轨线族为 x2?y2?cy．
（２）．xy?c ；
解：由方程得：??xy?c， 消去c有:dy?xdy?ydx?0dx??yx, 则所求正交轨线的微分方程为
dydx?xy， 亦即ydx?xdy?0，所以所求正交轨线族为 x2?y2?c．
（３）．y2?ax3；
解：由方程得：???y2?ax3dy??2ydy?3ax2dx?0，消去c有:dx?3y2x, 则所求正交轨线的微分方程为
dy?2xdx?3y， 亦即2xdx?3ydy?0，
所以所求正交轨线族为 2x2?3y2?c
（４）．x2?c2y2?1．
解：由方程得：???x2?c2y2?1dy?xy?2cydy?0，消去c有??2xdx?2:dx1?x2则所求正交轨线的微分方程为 dy1?x2 dx?xy， 亦即ydy?(x?1x)dx?0，
所以所求正交轨线族为 x2?y2?2lnx?c．
或者 x2?y2?lnx2?c.
2. 求与下列各曲线相交成45?角的曲线族：