发布时间 : 星期一 文章用函数观点看方程（组）与不等式 要点全析更新完毕开始阅读
用函数观点看方程（组）与不等式2要点全析
1．一次函数与一元一次方程
由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴交点的横坐标的值．
如：求方程3x－6＝0的解，可以转化为求函数y＝3x－6，当y＝0时，自变量x的值，也可看作求直线y＝3x－6与x轴交点的横坐标．
再如：求方程3x＋5＝9的解，可以转化为求函数y＝2x＋5，当y＝9时，自变量x的值，也可看作求直线y＝2x＋5，当y＝9时的横坐标x的值．
【说明】（1）一元一次方程ax＋b＝0（a≠0），可以看成一次函数y＝ax＋b（a≠0），当y＝0时的一种特殊情况，同时对于一次函数y＝ax＋b（a≠0），对于每一个确定的y值，都是一个一元一次方程．
（2）从图象上看，一元一次方程ax＋b＝0（a≠0），可看成求直线y＝ax＋b（a≠0）与x轴交点的横坐标，并且在直线y＝ax＋b（a≠0）上，每一个确定的点，都代表着一个一元一次方程ax＋b＝y（y为数值）．
（3）在以上的两个说明中，可以看出，分别从数与形两个方面说明了一元一次方程和一次函数二者之间的关系．
2．一次函数与一元一次不等式
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围．
例如：用函数图象法解不等式5x＋6＞3x＋10．
解法一：原不等式可化为2x－4＞0，画出直线y＝2x－4，由图11-3-1可以看出．当x＞2时，y＞0，即2x－4＞0；因此不等式的解集为x＞2．
解法二：将不等式5x＋6＞3x＋10的两边分别看作两个一次函数，画出直线y＝5x＋6与y＝3x＋10如图11-3-2．
由图11-3-2可以看出，两条直线交于点（2，16），当x＞2时，直线y＝5x＋6上的点都在直线y＝3x＋10的上方，这时5x＋6＞3x＋10．
因此，不等式5x＋6＞3x＋10的解集是x＞2． 【说明】（1）利用图象法求不等式的解时，要注意以下几点： ①作图要准确．假若有误、将会影响求解的结果．
②求解集时，要由函数的增减性和图象来共同确定．如图11-3-1，中函数y＝2x－4，当x增大时，y也随着增大，因此y＞0时，x＞2，从图象上看，在x轴上方的图象y＞0，这时对应的x值，都在2的右侧，即x＞2，因此其解为x＞2，在图11-3-2中，由图象可以清楚地看到x＝2是一个分界点，在x＞2时，直线y＝5x＋6在y＝3x＋10的上方，即5x＋6＞3x＋10；当x＜2时，正好相反．
③求解集时，要注意端点的取舍．
如不等式x－2≥0的解集为x≥2，即含有端点x＝2，而不等式x－2＞0的解集为x＞2，则不包含端点x＝2，在求解或画图时应注意．包含端点的解集在端点处画实点，不包含端点的解集在端点处画虚点（圆圈）．
④用图象法求类似于本例的不等式的解集时，其步骤可以分成三步： a．将不等式转化为函数（一个或几个）； b．作出函数的图象； c．确定解集．
（2）图象法求不等式的解集能比较形象、直观的看出解集的范围，并且能直观地看出在解集范围内，不等量的变化情况，但有时解较简单的不等式，作图时较复杂，有时作图不准确，也影响求解的结果，这是其不足的一面．虽然有不足，但在解决一些实际应用问题时，它的直观性还是经常用到的．
（3）在用图象法求解不等式的过程中，充分体现了由数（代数式）到形（图象为直线）和由形（图象）到数（确定解集）的思维过程，这种思维方式或思维方法，称为数形结合思想或数形结合方法．这种数形结合思想或方法是本节乃至本章的核心，应熟练掌握．
3．一次函数与二元一次方程（组）
对于一个二元一次方程ax＋by＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0，b≠0），总可以化成
y＝－acx－bb的形式，即一次函数，于是一个二元一次方程就对应着
一个一次函数．那么两个二元一次方程组成的方程组，就是两个一次函数所在的两条直线，要求方程组的解，就是求两直线的交点坐标．
简单地讲，二元一次方程组的解就是两条直线的交点坐标．
x＋y＝9，?2 ?例如：用图象法求方程组?3x－2y＝－4的解． 解：①先将两个方程化成一次函数的形式即y＝－2x＋9和
3y＝x＋22②作出两个一次函数y＝－2x＋9与的图象（如图11-3-3）两直
线交于点（2，5）．
y＝3x＋22．
?x＝2，?③确定方程组的解是；x＝2，y＝5，即?y＝5．
总结：由此例可知用图象法求二元一次方程组的解的方法是： （1）先将方程组的两个二元一次方程化为一次函数的形式． （2）在坐标系中，画出两个一次函数的图象（直线），两直线交于一点． （3）确定方程组的解，交点坐标就是方程组的解．
4．一次函数与一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程组的关系 对于一次函数与一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程组的关系是后三者分别是一次函数的特殊情况，而一次函数又是后三者图象的具体表达形式．
例如，以一次函数y＝3x－6为例来说明上述四者之间的关系． 条件 表现形式 问题类型 解决方法（图象法） y＝0 3x－6＝0 一元一次方程 与x轴交点的横坐标 y＞0 3x－6＞0 一元一次不等式 取某一范围内的数 y≤0 3x－6≤0 x＞2或x≤２ 与y＝2x＋8同时成立 ?3x－6＝y??2x＋8＝y 二元一次方程组 两条直线交点坐标 x＝14，y＝36 5．一次函数与几何知识的联系 由于一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是一条直线，那么它与两坐标轴围成一个直角三角形．由一次函数解析式可分别求出与两坐标轴的交点（0，b），
bb－（－k，0），如图11-3-4，则OA的长为k，OB的长为b，那么在△OAB中可求出以下一些量：
（1）△ABC中斜边AB的长，AB＝．
11b121b2OA·OB＝－ ·b＝b·＝22k2k2k．（2）△ABC的面积，S△ABC＝
11OA·OB＝AB·h22（3）△ABC的斜边AB上的高h，由S△ABC＝，
b2bOA2＋OB2＝（－）＋b2＝kk1＋k2b1b1b2·－·b＝·－·1＋k·h22k2k1＋k则，得h＝．
（4）若AB＝2OA，则∠OBA＝30°，∠OAB＝60°． 若OA＝OB，则∠OBA＝∠OAB＝45°．
有时根据以上的几何量，进行命题．如：已知直线y＝kx＋b与y轴交于点（0，4），与两坐标轴围成三角形的面积为6，求此直线的函数关系式．
解：设此直线与x轴交于点（m，0），
1m·4＝62由题意知，，即m＝3，∴ m＝±3．
4?k＝－，??3k＋b＝0，3???当m＝3时，直线经过点（3，0），（0，4），则?0＋b＝4．解之得?b＝4．4x＋4∴ 关系式为y＝－3．