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直线与圆锥曲线的位置关系
【知识梳理】
1.直线与圆锥曲线C的位置关系 2.求动点轨迹方程
①轨迹类型已确定的，一般用待定系数法
②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法 ③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法
【考点一：中点弦问题】
【例1】已知直线y??x?1与椭圆
xa22?yb22?1(a?b?0)相交于A、B两点，且线段AB
的中点在直线l:x?2y?0上，求此椭圆的离心率. 【课堂练习】 3．椭圆
x216?y24?1的弦被点P(2,1)所平分，求此弦所在直线的方程.
【考点二：中点问题】
【例2】已知点A、B的坐标分别是?1,0?，?-1,0?.直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程； （Ⅱ）若过点N?求直线l的方程.
【课堂练习】 4．已知椭圆积为4.
xa22?1?,1?的直线l交动点M的轨迹于C、D两点， 且N为线段CD的中点，?2??yb22?1（a>b>0）的离心率e=
32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. （i）若|AB|=425，求直线l的倾斜角；
???????? （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且QA?QB=4.求y0的值. （0，y0）【考点三：弦长问题】
【例3】已知椭圆G:两点.
（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值.
x24?y?1.过点（m，0）作圆x?y?1的切线l交椭圆G于A，B
222【课堂练习】 3.已知椭圆的长.
x29?y2?1，过左焦点F作倾斜角为
?6的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB
【考点四：对称问题】
曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上
【例4】已知椭圆C的方程
x24?y23?1，试确定m的取值范围，使得对于直线y?4，x?m椭圆C上有不同两点关于直线对称.
.
【课堂练习】
4.在抛物线y2?4x上恒有两点关于直线y?kx?3对称，求k的取值范围.
【考点五：垂直问题】
?OA?OB?0???OA?OB?以AB为直径的圆过原点???x1y1?x2y2?0
重心坐标公式：???x1?x2?x33,y1?y2?y3?? 3?【例5】已知m＞1，直线l:x?my?左、右焦点.
m22椭圆C:?0，
xm22?y?1，F1,F2分别为椭圆C的
2（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A,B两点，VAF1F2，VBF1F2的重心分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.
【课堂练习】
5.已知定点A（－1，0），F（2，0），定直线：x?12，不在轴上的动点P与点F的距离是它
到直线的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、两点，直线AB、A分别交于点M、
（Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）试判断以线段M为直径的圆是否过点F，并说明理由. 【考点六：面积问题】
S?AOB?12?弦长?点到直线的距离
63【例6】已知椭圆
xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离
为3，直线l:y?kx?m交椭圆于不同的两点A，B
32（Ⅰ）求椭圆的方程 （Ⅱ）若坐标原点O到直线l的距离为值
，求?AOB面积的最大
【考点七：比例问题】
【例7】设F1，F2分别为椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)的左、右焦点，过F2的直线l与
椭圆C 相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60?，F1到直线l的距离为23. ??????????（Ⅰ）求椭圆C的焦距； （Ⅱ）如果AF2?2F2B，求椭圆C的方程.
【课堂练习】
6.设??0，点A的坐标为（1，1），点B在抛物线y?x2上运动，点Q满足BQ??QA，经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM??MP，求点P的轨迹方程.
【考点八：范围、最值问题】
几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，利用几何性质解决问题 代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值. 【例8】已知椭圆C1:xa22?yb2222?1(a?b?0)与直线x?y?1?0相交于两点A,B.当椭圆
的离心率e满足范围. 【课堂练习】
33?e?????????，且OA?OB?0（O为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值
7.已知P是椭圆C1:小值为
32x24?y?1??1的动点，点A?,0?关于原点O的对称点是B，若|PB|的最2?2?2，求点P的横坐标的取值范围.