发布时间 : 星期四 文章立体几何垂直证明题常见模型及方法更新完毕开始阅读
∴VC在底面ABC上的射影为CD.
∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE, ∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,
∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,
∴VC与面ABC所成角为60°.
15.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN， 则有EN∥CD∥AB∥AM，EN＝
11CD＝AB＝AM，故AMNE为平行四边形. 22∴MN∥AE.
∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD. (2)∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥AB.
又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD. ∴AB⊥AE，即AB⊥MN. 又CD∥AB，∴MN⊥CD.
(3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD. 又∠PDA＝45°，E为PD的中点.
∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD， ∴MN⊥平面PCD.
16.如图(1)证：由已知AB＝4，AD＝２，∠BAD＝60°， 故BD2＝AD2+AB2-2AD·ABcos60°＝4+16-2×2×4×12＝12. 又AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
即AD⊥BD.在△PDB中，PD＝3，PB＝15，BD＝12，∴PB2
＝PD2
+BD2
，故得PD⊥BD.又PD∩AD＝D， ∴BD⊥平面PAD.
(2)由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD. ∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E， 又PE平面PAD，
∴PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角. ∴∠PDE＝60°，∴PE＝PDsin60°＝3?32?32. 作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BF， ∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角. 又EF＝BD＝12，在Rt△PEF中，
3tan∠PFE＝PE?23EF23?4. 故二面角P—BC—A的大小为arctan
34. 第15题图解
第16题图解
17.连结AC1，∵
AC?MC1362?2?CC1. C1A1∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1， ∴∠AC1C=∠MA1C1，
∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°. ∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴CC1⊥B1C1，又B1C1⊥A1C1，∴B1C1⊥平面AC1M. 由三垂线定理知AB1⊥A1M.
点评：要证AB1⊥A1M，因B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1⊥A1M，而
AC1⊥A1M一定会成立．
18.(1)证明：在正方形ABCD中， ∵△MPD∽△CPB，且MD＝
1BC， 2∴DP∶PB＝MD∶BC＝1∶2. 又已知D′N∶NB＝1∶2，
由平行截割定理的逆定理得NP∥DD′，又DD′⊥平面ABCD， ∴NP⊥平面ABCD.
(2)∵NP∥DD′∥CC′，
∴NP、CC′在同一平面内，CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱. 又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM， ∴∠MCD为该二面角的平面角. 在Rt△MCD中可知 ∠MCD＝arctan
1，即为所求二面角的大小. 2a262a，设所(3)由已知棱长为a可得，等腰△MBC面积S1＝，等腰△MBD′面积S2＝
24求距离为h，即为三棱锥C—D′MB的高.
∵三棱锥D′—BCM体积为S1?DD??∴h?
131S2h， 3S1?a6?a. S23
空间中的计算
基础技能篇 类型一：点到面的距离
方法1：直接法—把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算 例1：在正四面体ABCD中，边长为a，求点A到面BCD的距离。
变式1 在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点V到底面ABCD的距离。
变式2在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点A到底面VCD的距离。
方法2：等体积法求距离---在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同的底和高来达到目的。
例2 已知在三棱锥V—ABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA=VB=3，VC=4，求
点V到面ABC的距离。
变式1：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其
中AB?4,BC?2,CC1?3,BE?1． （1）求BF的长；
（2）求点C到平面AEC1F的距离．
变式2 如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD是四边长为1的菱形，?ABC?,
4_ O?OA?面ABCD, OA?2,．求点B到平面OCD的距离．
_ A_ B_ C_ D
变式3在正四面体ABCD中，边长为a，求它的内切求的半径。 类型二：其它种类的距离的计算（点到线，点到点 ）
?ABC?例3 如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD是四边长为1的菱形，
面ABCD, OA?2,M为OC的中点，求AM和点A到直线OC的距离．
?4, OA?_ O 举一反三 1．正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A 到侧面PBC的距离是
A．45 B．65 C．6 D．46 2．如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为 ．． A．10 B．20 C．30 D．40 二、填空题：
3．太阳光照射高为3m的竹竿时，它在水平地面上的射影 为1m，同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子 的长度AB等于33cm,则该球的体积为_________．
4．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为___ ． 2 23 主视图
俯视图 左视图
三、解答题：
5．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N．求点B1到平面AMN的距离．
6．一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N分别是AF、BC的中点）.
?_ A_ B_ C_ D