发布时间 : 星期一 文章2019中考数学压轴题分类复习之抛物线与四边形的综合问题更新完毕开始阅读
2019中考数学压轴题分类复习之抛物线与四边形的综合问题
例题：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分
．
（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式； （2）求证：四边形AMCD是菱形；
（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式； （2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°，进而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；
（3）首先表示出△ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标． （1）解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上， 则MA=MB=MC=ME=2， 又∵CO⊥MB， ∴MO=BO=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2）， 抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2）， 设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0） 把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2， 解得：a=，
故二次函数解析式为：y=（x+1）2﹣2；
（2）证明：连接DM， ∵△MBC为等边三角形， ∴∠CMB=60°， ∴∠AMC=120°， ∵点D平分弧AC，
∴∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°， ∵MD=MC=MA，
∴△MCD，△MDA是等边三角形， ∴DC=CM=MA=AD，
∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）； （3）解：存在． 理由如下：
设点P的坐标为（m，n） ∵S△ABP=AB|n|，AB=4 ∴×4×|n|=5， 即2|n|=5， 解得：n=±， 当
时，（m+1）﹣2=，
2
解此方程得：m1=2，m2=﹣4
即点P的坐标为（2，），（﹣4，）， 当n=﹣时，（m+1）2﹣2=﹣， 此方程无解，
故所求点P坐标为（2，），（﹣4，）．
同步练习
1.已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．