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电磁感应
§3。1 基本磁现象
由于自然界中有磁石(Fe3O4)存在，人类很早以前就开始了对磁现象的研究。 人们把磁石能吸引铁`钴`镍等物质的性质称为磁性。 条形磁铁或磁针总是两端吸引铁屑的能力最强，我们把这吸引铁屑能力最强的区域称之为磁极。 将一条形磁铁悬挂起来，则两极总是分别指向南北方向，指北的一端称北极(N表示)；指南的一端称南极(S表示)。 磁极之间有相互作用力，同性磁极互相排斥，异性磁极互相吸引。 磁针静止时沿南北方向取向说明地球是一个大磁体，它的N极位于地理南极附近，S极位于地理北极附近。
1820年，丹麦科学家奥斯特发现了电流的磁效应。 第一个揭示了磁与电存在着联系。 长直通电导线能给磁针作用；通电长直螺线管与条形磁铁作用时就如同条形磁铁一般；两根平行通电直导线之间的相互作用??，所有这些都启发我们一个问题:磁铁和电流是否在本源上一致? 1822年，法国科学家安培提出了组成磁铁的最小单元就是环形电流，这些分子环流定向排列，在宏观上就会显示出N、S极的分子环流假说。近代物理指出，正是电子的围绕原子核运动以及它本身的自旋运动形成了“分子电流”，这就是物质磁性的基本来源。
一切磁现象的根源是电流，以下我们只研究电流的磁现象。
§3。2 磁感应强度
3．2．1、磁感应强度、毕奥?萨伐尔定律
将一个长L，I的电流元放在磁场中某一点，电流元受到的作用力为F。 当电流元在某一方位时，这个力最大，这个最大的力Fm和IL的比值，叫做该点的磁感应强度。 将一个能自由转动的小磁针放在该点，小磁针静止时N极所指的方向，被规定为该点磁感应强度的方向。
?真空中，当产生磁场的载流回路确定后，那空间的磁场就确定了，空间各点的B也就确
定了。 根据载流回路而求出空间各点的B要运用一个称为毕奥—萨伐尔定律的实验定律。毕
?—萨定律告诉我们：一个电流元I?L(如图3-2-1)在相对电流元的位置矢量为r的P点所产生
I?Lsin????r2?r?B，为顺着电流IL的方向与方向的夹角，
的方向可用右手螺旋法则确定，即伸出右手，先把四指放在I?L的方向上，顺着小于?的角
???7r?B转向方向时大拇指方向即为的方向。式中K为一常数，K=10韦伯/安培?米。载流回
???路是由许多个IL组成的，求出每个IL在P点的?B后矢量求和，就得到了整个载流回路??在P点的B。
?I?l ??B? ?B
? r R ? ? ? I ?B// O P x K??的磁场的磁感强度?B大小为
图3－2－2
高中物理竞赛电学教程 第三讲 磁场第四讲 电磁感应 ?K?0?7?1??4??104?0如果令，特斯拉?米?安，
那么?B又可写为
? ?r 图3-2-1 ?B??0I?Lsin?4?r2
?0称为真空的磁导率。
下面我们运用毕——萨定律，来求一个半径为R，载电流为I的圆电流轴线上，距圆心O
为?的一点的磁感应强度
?0I?lsin90??0I?l??B??2?l4?4?r2，其方r在圆环上选一I，它在P点产生的磁感应强度
???向垂直于I?l和r所确定的平面，将B分解到沿OP方向?B//和垂直于OP方向?B?，环上
所有电流元在P点产生的?B?的和为零，
B=
?B//??B,sin???0I?lR?4?r2r
??B//???0RI?0RI?l??2?R334?r4?r（??l?2?R线性一元叠加）
?0R2I?2(?2?R2)3/2
在圆心处，??0，
B??3．2．2、 由毕——萨定律可以求出的几个载流回路产生的磁场的磁感应强度B
?0I2R
(1)无限长载流直导线
为了形象直观地描述磁场，引进了与电感线相似的磁感线。
长直通电导线周围的磁感线如图3-2-3所示。如果导线中通过的电流强度为I，在理论上和实验中都可证明，在真空中离导线距离为r处的磁感强度
?0IIB?Kr 2?r 或
?7式中?0称为真空中的磁导率，大小为4??10T/m。B?K?2?10?7T?m?1
(2)无限长圆柱体
I 图3-2-3
无限长载流直导线
线的垂直距离。半径为R，均匀载有电流，其电流密度为j的无限长圆柱体
B??I2?r r为所求点到直导
0 图3-2-4
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当r＜R，即圆柱体内
B??j02r??rI2?R
02?0?R2j?0IB??2?r2?r 当r＞R，即圆柱体外
(3)长直通电螺线管内磁场
长直导电螺线管内磁场如图图3-2-4所示可认为是匀强磁场，场强大小可近似用无限长螺线管内B的大小表示
B内??0nI
n为螺线管单位长度的匝数
(4)螺绕环的磁场与长直通电螺线管内磁场的磁场相同。 3．2．3、磁感应线和磁通量
为了形象地描绘磁场的分布，在磁场中引入磁感应线，亦即磁力线。磁力线应满足以下两点：
第一，磁感应线上任一点的切线方向为该点磁感应强度??I B的方向；第二，通过垂直于B的单位面积上的磁感应线的 ?I 条数应等于该处磁感应强度B的大小。
图3-2-5的(a)和(b)分别给出了无限长载流导线和圆电流的磁场的磁力线。从图中可看到：磁力线是无头无尾的闭合线，与闭合电路互相套合。磁感线是一簇闭合曲线，而静电(a) (b) 场的电感线是一簇不闭合的曲线(或者是从正电荷到负电荷， 或者是从正电荷到无穷远处，从无穷远处到负电荷)。这是一图3-2-5 个十分重要的区别，凡是感线为闭合曲线的场都不可能是保 守场。
磁感强度是一个矢量，如果两个电流都对某处的磁场有贡献，就要用矢量合成的方法。如果有a、b两根长直通电导线垂直于纸面相距r放置，电流的大小Ia?I，Ib?2I(图3-2-6)那么哪些位置的磁感强度为零呢？在a、b连线以外的位置上，两根导线上电流所产生的磁感强度Ba和Bb的方向都不在一直线 上，不可能互相抵消；在a、b连线上，a左边或b右边的位置上，Ba和Bb的方向是相同的，也不可能互相抵消；因此只有在a、b中间的连线上，Ba和Bb才有可能互相抵消，设离a距离为?的P处合磁感应强度为零(图3-2-6)
I2Ik??k??0?B?BA?BB(矢量式)=?r?? I2Irk??k????r??，3
通过一给定曲面的总磁力线数称为通过该曲面的磁通量，磁通量的单位是韦伯，1韦伯=1特斯拉?1米。
（a） （b）
图2-3-7
2
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图3-2-7(a)中，通过匀磁场中与磁力线垂直的平面S0的磁通量为??BS0；而通过与磁力线斜交的S面的磁通量为：
?(?角即是两个平面S和S0的夹角，也是S面的法线与B的夹角)。
而在(b)中，磁场和曲面都是任意的，要求出通过S面的磁通量应把通过S面上每一小面元?Si的磁通量求出后求和，即：
??BScos?
???Bicos?i?Si
3．2．4、磁场中的高斯定理
考虑到磁力线是无头无尾的封闭曲线，对磁场中任一封闭曲面来说，有多少根磁力线穿入，必有多少根穿出，即通过磁场中任一封闭曲面的磁通量为零。这就是磁场的高斯定理，它表明了磁场一个重要性质，即磁场是无源场，自然界中没有单独的N极或S极存在。
3．2．5、典型例题 例1：图3-2-8所示，两互相靠近且垂直的长直导线，分别通有电流强度I1和I2的电流，试确定磁场为零的区域。
y 分析：建立图示直角坐标系，用安培定则判断出两电
流形成的磁场方向后，可以看出在Ⅰ、Ⅲ两象限内，两磁场方向相反，因此合磁场为零区域只能出现在这两个象限
Ⅰ Ⅱ 内。
解：设P(x、y)点合磁感强度为零，即有
x
Ⅳ
I2I1I2y?xk?k?0I1 这就是过原点的直线xy得
Ⅲ
图3-2-8
方程，其斜率为I2/I1。
例2：如图3-2-9所示，将均匀细导线做成的圆环上任意两点A和B与固定电源连接起来，
计算由环上电流引起的环中心的磁感强度。
分析：磁感强度B可以看成圆环上各部分(将圆环视为多个很小长度
O 部分的累加)的贡献之和，因为对称性，圆环上各部分电流在圆心处磁场
是相同或相反，可简化为代数加减。
B A ?解：设A、B两点之间电压为U，导线单位长度电阻，如图3-2-10I I 所示，则二段圆环电流
图3-2-9
UUI2??R?(2???)R??
磁感强度B可以是圆环每小段?l部分磁场?B的叠加，在圆
I??l?B?kR，所以： 心处，?B可表达为
I1?I2 A 2??? R
?B
? B I1 图3-2-10