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§19.2 含参变量的反常积分19.2.1 一致收敛性及其判别法19.2.2 含参变量的反常积分的性质19.2.3 含参变量的无界函数反常积分幻灯片 2
19.2.1 一致收敛性及其判别法 设f(x,y)定义在无界区域 [a,b]?[c,??) R??(x,y)a?x?b,c?y????上, 若对每一个固定的x?[a,b],广义积分 ???f(x,y)dy (1)c都收敛, 则它的值是x在[a,b]上取值的函数, 易证这个函数为I(x) 时,则有 I(x)????f(x,y)dy (2)c称(1)式为定义在[a,b]上的含参变量x的无穷限 广义积分,或简称含参变量反常积分. 幻灯片 3
定义1 若含参量广义积分(1)与函数I(x) 对任给的正数 ?,总存在某一实数N?c,使得当A?N时,对一切 x?[a,b] ,都有 ?Af(x,y)dy?I(x)?? 即 ???cAf(x,y)dy?? 则称含参量广义积分(1)在[a,b] 上一致收敛于I(x). 定理19.7 (一致收敛的准则)含参量广义积分(1)在[a,b]上一致收敛的充要条件是:对???0,?M?c,使得?A1,A2?M,?x?[a,b], 都有 A?2f(x,y)dy?A? 1板书积分(1)收敛的分析
定义.
在积分(1)收敛的分析定
义基础上,对比地,板书出积分(1)一致收敛的分析定义.
下面首先引入含参变量广义积分的一致收敛概念及Cauchy准则.
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幻灯片 例1. 证明含参量的广义积分:???sinxy4
0ydy (1).在[?,??)上一致收敛(??0); (2).而在(0,??)内不一致收敛. 证明:(1)????sinxy令 u?xysinuAydy??????Axudu由定义1来证,???0,????sinu0udu??,??M?0,?A??M,有:???sinuA?udu??取N? M??0,?A?N,?x?[?,??),有:???sinxy??sinu??M)Aydy??duAxu??(?Ax?A?此含参量广义积分在[?,??)一致收敛.幻灯??片 5
(2). ?lim???du???p?pt?0??sinutudu?sinu记为0u2?0由保号性,???0,?t:0?t??,有:???sinutudu?p2由定义1的否定判断来证,取?p1??sinu0? 2?2?udu?0,?N?0,0取A?N?1?N,取x?0 0 ?2(N?1)?(0,??),使:???sinx0y??duA?p0ydy??sinuA0x0u2??0.(此时,0?A0x0????)?所论积分在(0,??)非一致收敛.2幻灯片 6
定理19.8 含参变量广义积分(1)在[a,b]上一致收敛的充要条件是:对任一趋于??的递增数列?An?(其中A1?c),函数项数 ?A? ?n?1Af(x,y)dy?n?un(x) (7) n?1?n?1在[a,b]上一致收敛. c?A1A2A3A4An注:其中 uAn?1n(x)??Af(x,y)dyn??An?1nf(x,y)dy?limn?1?Ann???k?1?Ak?1f(x,y)dyAk?limAn?1f(x,y)dyn???c????f(x,y)dyc证明方法,由定义,分析法
证.
证明方法,由定义1的否定
判断,分析法证.此证明过程与教材上的证明略的不同.
含参变量广义积分与函数
项级数的关系，由此关系，我们容易把函数项级数的性质与一致收敛性判别法，移植给含参变量广义积分。
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证:[必要性] 由(1)?A??A?由柯西收敛准则,分析法
??cf(x,y)dy在[a,b]上一致收敛,故来证.
???0,?M?c,?A???A??M,?x?[a,b],总有:?f(x,y)dy??又由An??? (n??),?对上述M,?正整数N1,只要当n?m?N1时,有:An?1?Am?M,?N1?0,?n?m?N,?x?[a,b],有:取N um(x)???un(x)???Am?1AmAn?1Amf(x,y)dy???f(x,y)dy???An?1Anf(x,y)dy??级数(7)在[a,b]上一致收敛. 幻灯片 8
[充分性]用反证法. 假若(1)在[a,b]上不一致收敛,A??A? 则??0?0,?M?c,?相应的A???A??M和x??[a,b], 使得??A2A1f(x?,y)dy??0取M1?max?1,c?,则?A2?A1?M1及x1?[a,b],使得: f(x1,y)dy??0.一般地,取Mn?maxn,A2?n?1?, (n?2),则有??A2n?A2n?1?Mn及xn?[a,b],使得:?幻灯片 9
A2nA2n?1f(xn,y)dy??0 (?) An???由上述所得到的数列?An?是递增的,且limn??
?? 现考察级数?un(x)?n?1??n?1An?1Anf(x,y)dy 由(＊)式知, ??0?0,?正整数N,只要n?N,就有某个xn?[a,b],使得u2n(xn)?x?[a,b] ?A2n?1A2nf(xn,y)dy??0,?un(x)???????supu2n(x)?0??0,?0, x?[a,b] 这与级数?un(x)在[a,b]上一致收敛的假设矛盾,n?1故含参变量广义积分(1)在[a,b]上一致收敛. 143798332.doc Page 4 of 10
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下面我们把函数项级数的一致收敛性判别法，移植给含参变量广义积分。给出含参变量广义积分的一致收敛性的判别法，它们的证明相仿。
( Weierstrass判别法) 设有函数g(y),使得 f(x,y)?g(y), a?x?b,c?y???. 若???c??cg(y)dy收敛,则?f(x,y)dy在[a,b]上一致收敛. 幻灯片 11
Dirichlet判别法: 设( i ) 对一切实数N?c,含参变量积分 Nc?f(x,y)dy， 对参量x在[a,b]上一致有界,即?M?0 ,对 ?N?c及?x?[a,b],都有?Ncf(x,y)dy?M； ( ii )对每一个x?[a,b],函数g(x,y)关于y是单调递减, ( iii )当y???时,对参变量x,g(x,y)一致地收敛于0. 则???cf(x,y)g(x,y)dy在[a,b]上一致收敛. 幻灯片 12
Abel判别法 设 (i) ?调函数； (iii) 对参量x,在g(x,y)在[a,b]上一致有界. 则???c??cf(x,y)dy在[a,b]上一致收敛; (ii) 对每一个x?[a,b],函数g(x,y)为y的单f(x,y)g(x,y)dy在[a,b]上一致收敛.