发布时间 : 星期一 文章【冲刺实验班】广东惠州一中2019中考提前自主招生数学模拟试卷(6套)附解析更新完毕开始阅读
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（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，﹣3），求此抛物线的顶点坐标；
（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；
（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点．若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求此抛物线的解析式．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）由于抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，﹣3），可用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标；
（2）先设出过A，B两点抛物线的解析式，作MD⊥x轴于D，再分别求出A、B、C、M各点的坐标，再根据图形求各三角形的面积，最后由三角形之间的和差关系△ACM的面积进行计算；
（3）因为已知抛物线的顶点坐标及与y轴的交点，可设出抛物线的解析式，由于不明确抛物线的开口方向，故应分类讨论．在进行分类讨论时还要注意讨论哪个角为60°，不要漏解．
【解答】解：（1）设过抛物线A，B两点，且与y轴交于点（0，﹣3），的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
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把A（﹣1，0），B（3，0），点（0，﹣3）代入 得
，
解得，
故此抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）由题意，设y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），M（1，﹣4a）， ∴S△ACB=×4×|﹣3a|=6|a|， 而a＞0， ∴S△ACB=6a． 作MD⊥x轴于D，
又S△ACM=S△ACO+SOCMD﹣S△AMD=?1?3a+（3a+4a）﹣?2?4a=a， ∴S△ACM：S△ACB=1：6；
（3）①当抛物线开口向上时， 设y=a（x﹣1）2+k， 即y=ax2﹣2ax+a+k，
有菱形可知|a+k|=|k|，a+k＞0，k＜0， ∴k=
，
∴y=ax2﹣2ax+， ∴|EF|=
记l与x轴交点为D，
若∠PEM=60°，则∠FEM=30°，MD=DE?tan30°=
，
=
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∴k=﹣
，a=
，
x2﹣
x+
，
∴抛物线的解析式为y=
若∠PEM=120°，则∠FEM=60°，MD=DE?tan60°=∴k=﹣
，a=
，
x2﹣2
x+
x2+
∴抛物线的解析式为y=
②当抛物线开口向下时，同理可得y=﹣y=﹣
x2+2
x﹣
．
x﹣，
【点评】此题比较复杂，综合性较强，考查的是二次函数图象上点的坐标特点，及三角形的面积，注意某个图形无法解答时，常常放到其他图形中，利用图形间的“和差”关系求解．在解（3）时一定要分类讨论．
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26．如图，已知直线l1：y=x+与直线l2：y=﹣2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合． （1）求△ABC的面积；
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
（3）若矩形DEFG从原地出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
【考点】FI：一次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）把y=0代入l1解析式求出x的值便可求出点A的坐标．令x=0代入l2的解析式求出点B的坐标．然后可求出AB的长． 联立方程组可求出交点C的坐标，继而求出三角形ABC的面积． （2）已知xD=xB=8易求D点坐标．又已知yE=yD=8可求出E点坐标．故可求出DE，EF的长．
（3）作CM⊥AB于M，证明Rt△RGB∽Rt△CMB利用线段比求出RG=2t．又知道S=S△ABC﹣S△BRG﹣S△AFH，根据三角形面积公式可求出S关于t的函数关系式．
【解答】解：（1）由x+=0，得x=﹣4． ∴A点坐标为（﹣4，0），
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