发布时间 : 星期一 文章高一数学 函数单调性与最值(含解析)更新完毕开始阅读
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
【解】(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
x1(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，
x2x1?所以f??x?<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1) 2 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)． x1?9??由f?＝f(x)－f(x)得，f12 ?x??3?＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2. 2 ∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2. 212．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－. 3(1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值． 【证明】(1)设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)． 又∵当x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1) (2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数， ∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)． 而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2. ∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 13．函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2. 【解】(1)设x1 f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1， ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0?f(x1) ∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1?f(2)＝2f(1)－1，