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3、（1）E[X(t)]?E[Acos?t]?E[A]cos?t?0
RX(t??,t)?E[Acos?(t??)Acos?t]?E[A2]cos?(t??)cos?t?2cos?(t??)cos?t?cos?(2t??)?cos??与t有关
(2) 注意正态随机变量的线性变换仍然是正态随机变量。
CX(t??,t)?RX(t??,t)?mX?t???mX?t??cos?(2t??)?cos??
CX(t,t)?RX(t,t)?cos(2?t)?1
E[X(1)]?0，Var[X(1)]?2
1?f(x;1)?e2??22x?0???2?2?12?e?x24
??1????1??E?X????0，Var?X????1 ??4????4??11?f(x;)?e42??1(x?0)2?2?1?1e2?x2?2
（3）因为RX(t??,t)?cos?(2t??)?cos?? 与t有关，所以X(t)不是广义平稳随机过程。
4.试判断下列函数哪些可作为实平稳过程的自相关函数，为什么？
-（3t+1）
-|t|
2
（1）u（t+2）-u（t-1）（2）5e （3）|t|e （4）Sa （πt）
4、（1）u???2??u???1?
??该函数不具有偶对称，故非自相关函数。
??3??1?5e（2）
mY(t)??mX(t??)h(?)d??h(t)?mX(t)??该函数不具有偶对称，故非自相关函数。 ???e（3）
R????R?0?不成立，故非自相关函数。
（4）Sa2????偶函数，R????R?0?，连续。
是自相关函数。
题库（4）
一、填空题（每空2分，共20分）
1.白噪声是指 功率谱密度 在整个 频域 内均匀分布的噪声。 2.线性系统的分析方法有 微分方程法 、 频谱响应法 、 频谱法 。 3.对于严格平稳的随机过程，它的均值和方差是与时间无关的常数，而自相关函数只与t1和t2的差值有关，而与本身的取值是无关的。 4.冲击响应法分析线性输出，其均值为 5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。 ?(?)cos??6.窄带随机过程的互相关函数公式为 R(?)?R(?)sin???RcsY0Y0 二、判断题（每题1分，共5分）
1.严格平稳一定广义平稳，广义平稳不一定是严格平稳。（对） 2.功率谱密度是从时域上描述随机过程很重要的数字特征。（错） 3.相关性越弱，功率谱越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。（对） 4.白噪声通过有限带宽的线性系统后，输出过程必为高斯过程。（对）
5.平稳高斯过程与确定信号之和是高斯过程,确定信号可以认为是该过程的均值。（错）
三、简答
给出各态历经的定义及其物理意义
如果随机过程的各集平均都以概率1等于其相应的各种时平均，则称此过程是各态历经的。其物理意义是：过程的每个样本函数经历了随机过程各种可能的状态，也就是说从随机过程的任何一个样本函数都可以获得随机过程的全部统计信息。
四、证明
1.证明平稳随机过程自相关函数在τ=0时的最大值
证明：E?X(t)?X(t??)??02?EX2(t)?2X(t)X(t??)?X2(t??)?0???对于平稳过程，有E[X2(t)]?E[X2(t??)]?RX(0)?2RX(0)?2RX(?)?0?RX(0)?RX(?)2.试证明X（t=）N(t)cosω0t为非平稳随机过程
RX(t??,t)?E{X(t??)X(t)}?E{N(t??)cos?0(t??)N(t)cos?0t}?RN(?)1?cos?0(2t??)?cos?0??2
五、计算
2
1.设一个平稳随机序列X（n）的自相关函数为σ δ（m），线性系统的单位冲激响应是h（n）=r ，n≥0,|r|<1.求输出y（n）的自相关函数及功率谱密度
2.已知一零均值的平稳随机过程输入到图示的低通滤波器（无图），设该随机过程的自相关函数为（1）Rx(t1,t2)= δ（t1-t2）=2（t） （2）Rx（t）=2x 2 -e -βt 分别求该函数的自相关函数Rx（τ）
分别求自相关函数Ry(?)。
（2）