发布时间 : 星期四 文章数学分析19.2含参量积分之含参量反常积分（含习题及参考答案）更新完毕开始阅读
第十九章 含参量积分 2含参量反常积分
一、一致收敛性及其判别法
概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x∈I, c≤y<+∞}上，I为一区间，若对每一个固定的x∈I, 反常积分?cf(x,y)dy都收敛，则它的值是x在I上取值的函数, 记φ(x)=?cf(x,y)dy, x∈I, 称?cf(x,y)dy为定义在I上的含参量x的无穷限反常积分，简称含参量反常积分.
定义1： 若含参量反常积分?cf(x,y)dy与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N时, 对一切x∈I, 都有?cf(x,y)dy??(x)<ε, 即?Mf(x,y)dy<ε, 则称含参量反常积分在I上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分?cf(x,y)dy在I上一致收敛.
定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分?cf(x,y)dy在I上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A1, A2>M时，对一切x∈I, 都有?Af(x,y)dy<ε.
1????????M??????A2
定理19.8：含参量反常积分?cf(x,y)dy在I上一致收敛的充要条件是：
A?????limF(A)=0, 其中F(A)=sup?x?I??Af(x,y)dy.
例1：证明含参量反常积分?0(0,+∞)上不一致收敛.
??sinxydy在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在y解：令u=xy, 则?A∵?Ax??????sinusinxydy=?du (A>0). Axyu??sinusinudu<ε. du收敛，∴?ε>0, ?M>0, 使当A’>M时，就有??Auu取Aδ>M, 则当A>即?A??M?时，对一切x≥δ>0，有xA>M, ∴?Ax??sinudu<ε, u??sinxysinxydy<ε, ∴limF(A)=limsup?dy=0, 由定理19.8知 AA???A???yyx?(?,??)???0sinxydy在[δ,+∞)上一致收敛. 又 yF(A)=sup∴?0
??x?(0,??)A?????sinusinxydu≥dy=sup?Axux?(0,??)y???0sinu?du=. u2sinxydy在(0,+∞)上不一致收敛. y注：若对任意[a,b]?I, 含参量反常积分在[a,b]上一致收敛，则称在I 上内闭一致收敛.
定理19.9：含参量反常积分?cf(x,y)dy在I上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{An}(其中A1=c), 函数项级数
????n?1?An?1Anf(x,y)dy=?un(x)在I上一致收敛.
n?1???证：[必要性]若?cf(x,y)dy在I上一致收敛, 则?ε>0, ?M>c, 使 当A”>A’>M时，对一切x∈I, 总有?A?f(x,y)dy<ε.
又An→+∞(n→∞), ∴对正数M, ?正整数N, 只要当m>n>N时，就有 Am>An>M. ∴对一切x∈I, 就有
A??|un(x)+…+um(x)|=?A?Am?1mf(x,y)dy????An?1Anf(x,y)dy =?AAm?1nf(x,y)dy<ε.
∴?un(x)在I上一致收敛.
n?1[充分性]若?un(x)在I上一致收敛, 而?cf(x,y)dy在I上不一致收敛,
n?1???则存在某正数ε0, 使对任何实数M>c, 存在相应的A”>A’>M和x’∈I, 使得?A?f(x?,y)dy≥ε0; 现取M1=max{1,c}, 则存在A2>A1>M1, 及x1∈I, 使得?Af(x1,y)dy≥ε0; 一般地, 取Mn=max{n,A2(n-1)} (n≥2), 则有
1A??A2A2n>A2n-1>Mn, 及xn∈I, 使得?AA2n2n?1f(xn,y)dy≥ε0.
n??由上述所得数列{An}为递增数列, 且limAn=+∞, 而对级数
?un?1?n(x)=??n?1?An?1Anf(x,y)dy, 存在正数ε0, 对任何正整数N,
A2n2n?1只要n>N, 就有某个xn∈I, 使得|u2n(xn)|=?A???f(xn,y)dy≥ε0,
与级数?un(x)在I上一致收敛矛盾. ∴?cf(x,y)dy在I上一致收敛.
n?1
魏尔斯特拉斯M判别法：设函数g(y), 使得 |f(x,y)|≤g(y), (x,y)∈I×[c,+∞). 若?cg(y)dy收敛, 则
???
??cf(x,y)dy在I上一致收敛.
狄利克雷判别法：设
(1)对一切实数N>c, 含参量正常积分?cf(x,y)dy对参量x在I上一致有界, 即存在正数M, 对一切N>c及一切x∈I, 都有?cf(x,y)dy≤M. (2)对每一个x∈I, 函数g(x,y)关于y是单调递减且当y→+∞时, 对参量
NNx, g(x,y)一致收敛于0.
则含参量反常积分?cf(x,y)g(x,y)dy在I上一致收敛.
阿贝尔判别法：设
(1)?cf(x,y)dy在I上一致收敛.
(2)对每一个x∈I, 函数g(x,y)为y的单调函数, 且对参量x, g(x,y)在I上一致有界.
则含参量反常积分?cf(x,y)g(x,y)dy在I上一致收敛.
例2：证明含参量反常积分?0证：∵对任何实数y, 有
????????cosxydx在(-∞,+∞)上一致收敛. 21?x??cosxy1dx≤, 又反常积分收敛. 222?01?x1?x1?x由魏尔斯特拉斯M判别法知, 含参量反常积分?0
例3：证明含参量反常积分?0e?xy证：∵反常积分?0??????cosxydx在(-∞,+∞)上一致收敛. 1?x2sinxdx在[0,+∞)上一致收敛. xsinxdx收敛, ∴对于参量y, 在[0,+∞)上一致收敛. x又函数g(x,y)=e-xy对每个y∈[0,+∞)单调, 且对任何0≤y<+∞, x≥0, 都有|g(x,y)|=|e-xy|≤1. 由阿贝尔判别法知, 含参量反常积分?0e?xy
例4：证明含参量积分?1????sinxdx在[0,+∞)上一致收敛. xysinxydy在(0,+∞)上内闭一致收敛. 1?y2