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??nIRl2?0nI?dxr?l/2B?0????l232?222222??r?x??R????r?l/2??R??2?r?l/2?22??r?l/2??R??强度为Ｉ，电流沿轴线方向流动，并且均匀地分布在管壁的横截面上。空间某一点到管轴的垂直距离为r。求： （１）
r
当l>>R时，是无限长螺线管
解：根据对称性和安培环路定理
B???0nIlim?2l?????r?l/2??R2????nI??i0022??r?l/2??R??r?l/2?r?l/2?2
３０、半径为R的球面上均匀分布着电荷，面密度为σ，当
这球面以角速度ω绕它的直径旋转时，求转轴上球内和球外任一点（该点到球心的距离为x）的磁感强度Ｂ。 解：球面上θ处宽为Rdθ的环带上的电荷量为
dQ???2?Rsin??Rd??2??R2sin?d???B1?0(r?a)??0Ir2?a2?(a?r?b)?B?dl??0I??B2?2?rb2?a2???0I(r?b)?B2?2?r?
a b I ２、 电缆由一导体圆柱和一同轴的导体圆筒构成。使用时，
电流Ｉ从一导体流去，从另一导体流回，电流都是均匀地分布在横截面上。设圆柱的半径为r1,圆筒的内外半
径分别为r2和r3。r为到轴线的垂直距离，求磁感强度的分布。
dQ随球面旋转，形成圆电流
dI?dQ?dQ????R2sin?d?T2?x Ｒ r ω r
解：根据对称性和安培环路定理
?0I??B1?2?r2(r?r1)1???0I(r1?r?r2)?B2?2?r?B?dl??0I????Ir2?r2?B2?032(r2?r?r3)2?rr3?r22???B2?0(r?r3)3/2圆电流dI在轴线上离圆心为r 处产生的磁感强度B沿I的右旋进方向，大小为
?0(Rsin?)2dI2??r?Rcos???(Rsin?)2???23/2rrI dBP???0??R22sin3?d???r?Rcos??2?(Rsin?)2???３、 矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示。
（１）
（１）
?0??R22求环内磁感强度的分布；
证明通过螺绕环截面的磁通量为
??球内一点
（２）
sin3?d???r?Rcos??2?(Rsin?)2???3/2BP??0?
?0NIhD1ln2?D2
??0??R2222（１）应用安培环路定理可求得，解： ??R2?r ?3/21?1??33??r2?R2?2rRcos???2?r2?R2?r2?R2?2rRcos??4rR?3r2?R2?2rRcos?????????0 ??0??R42?Q11632?33r??0??R?0?4rR336?R螺绕环内部
B??0NI2?r
（２）通过螺绕环截面的磁通量
上式表明，Ｐ点的Ｂ与r无关，即球
面内轴线上任一点的Ｂ都相等。
???B?dS?ＤＤh ?0NIRhdr?0NIhD1?ln?R2?r2?D221
（２）
?0??R22球外一点
１、 空间某处有互相垂直的两个水平磁场Ｂ１和Ｂ２，Ｂ１向
sin3?d???r?Rcos??2?(Rsin?)2???3/2BP??0?
北，Ｂ１=1.73高斯，Ｂ２向东，Ｂ２=1.00高斯。现在该处有一段载流直导线，问这导线应如何放置，才能使两
??0??R22?14r3R32 ?1??R2?r2?磁场作用在它上面的合力为０？3/2??r2?R2?2rRcos???2?r2?R2?r2?R2?2rRcos???22?3r?R?2rRcos?????????0??0??R42?Q?R?11632?R??33R??0??R???0???4rR336?R?r??r?33
解：设导线与正北方向夹角为α，与正东方向夹角为
?2??
根据安培定律
１、 有一根长的载流导体直圆管，内半径为a，外半径为b，电流
???IlB1sin??IlB2sin?????2?
解得
tg??B21?B11.73
???6?300
FCD?2al2B1?2aI2
?0I1?0I1I2a?2?rCD?a2?b2?2abcos?２、 一矩形线圈由２０匝互相绝缘的细导线绕成，矩形边长
为10.0cm和5.0cm,导线中的电流为0.10A，这线圈可以绕它的一边ＯＯ′转动。当加上Ｂ=0.50T的均匀外磁场，Ｂ与线圈平面成30角时，求这线圈受到的力矩。 0
FBC=－FAD 互相抵消。
Ｉ
作用在线圈上的合力为
１
解：电流元所受的安培力为
dF?Idl?B
力对转轴的力矩为
dL?r?dF?r?(Idl?B)
使线圈转动的力矩是与ＯＯ′平行的一边所受的力矩
L?NISBsin(n,B)?NISBsin600?4.3?10?3N?m z 这个力矩将使线圈转向x轴。
0x y ３、 一半径为Ｒ=0.10m的半圆形闭合线圈，载有电流Ｉ
=10A，放在均匀外磁场中，磁场的方向与线圈平面平行。磁感强度的大小B=5.0×103
高斯。 （１） 求线圈所受力矩的大小和方向；
（２）
在这力矩的作用下线圈转900
（即转到线圈平面与Ｂ垂直），求力矩所作的功。
解：（１）线圈所受力矩为 L?m?B?ISn?B 方向向上
其大小为 L?ISB?7.9?10?2N?m
（２）转动过程中力矩所作的功为
A???012?/2Ld??ISB?2?RIB?7.9?10?2J
４、 载有电流Ｉ１的长直导线旁边有一正方形线圈，边长为
２a，载有电流Ｉ２，线圈中心到导线的垂直距离为b，电流方向如图所示。线圈可以绕平行于导线的轴Ｏ１Ｏ２转动，求：
（１）
线圈在α角度位置时所受的合力Ｆ和合力矩Ｌ；
（２） 线圈平衡时α的值；
（３）
线圈从平衡位置转到α=π/2时，Ｉ１作用在线圈上的力作了多少功？
解：（１）Ｉ１作用在各边上的力分别为
F?0I1?0I1I2aAB?2al2B1?2aI22?r?AB?a2?b2?2abcos?
F??F??AB?FCD
其
大小
为
F?F22AB?FCD?2FABFCDcos?
??0I1I2a1??1?2cos?
r2r2ABCDrABrCD因
为
2??rr2AB?CD?(2a)2cos
22rABrCD所以
2?2F?0I21I2a2?0I1I2a1?r?ABrCD??a2?b2?2?4a2b2cos2?
为说明Ｆ的方向，取直角坐标系如图所示，
y Fx?FCDcos??FABcos?Ｉ× γF ?FCDsin??FABsin? ＦβθＦy⊙ α Ｆx F与x轴之间的夹角为
??arctanFy由图可
Ｉ２Ｉ
Fx见
sin??asin? cos??b?acos?
rABrABsin??ab?acos?rsin? cos??
CDrCD22 代入得
??arctan(a?b2?b2tan?)
a线圈所受的力矩为ＡＢ和ＣＤ两边受力对转轴的力
矩之和。
Ｂ α
Ｃ Ｉb
?IIab?sin?sin????L?FABbsin??FCDbsin??012??????? ?rr??Fe?FeCD?F?FAB?FBC?F?ABCAABxBCx
?三角形的线圈的三边所受安培力之和为
?0I1I2a2bsi?n?12?0I1I2a2b?a2?b2?si?n1???222??22222??rABrCD???a?b??4abcos?
??FIC BC F 3?IIa??II6b?23a??0I1I2?16b?23a3a????012ex?012lnex???ln?ex??36b?3a6b?3a??(6b?3a)3?6b?3aB Ｌ的方向是使α减小的方向。 （２）当Ｌ＝０时，线圈达到平衡。
α＝０（稳定平衡）； α＝π（不稳定
平衡）
（３）线圈从α＝０转到α＝π／２时，作用在线
圈上的力所作的功为
６、 载有电流Ｉ１的长直导线旁有一平面圆形线圈，线圈半
径为r，边长为a，载有电流Ｉ２，中心到直导线的垂直距离为l ,直导线与线圈都在同一平面内，求Ｉ１作用在这圆形线圈上的力。
解：由对称性可知，圆的上下两半相应位置的电流元所受的
A???/20Ld??2?0I1I2ab?a?b222????a0?/2si?n2
d?力平行于直线的分量大小相等而方向相反，互相抵消；垂直于直线的分量大小相等而方向相同，所以整个线圈所受的力大小等于
?b22??4a2b2co2s?
???0I1I2aa?b?2abcos?ln22?a?b2?2abcos?22???/2??0??0I1I2a?a?b?
22?ln???a?b?F?2??dF?cos?0?５、 载有电流Ｉ１的长直导线旁有一正三角形线圈，边长为
a，载有电流Ｉ２，一边与直导线平行，中心到直导线的垂直距离为b ,直导线与线圈都在同一平面内，求Ｉ１作用在这三角形线圈上的力。
????0I1?2??I2Rd????cos?0??2?l?Rcos???
??0I1I2R?1cos?d??0?l?Rcos??????解：F左
AB?I2a?0I13?0I1I2a 方向向?2?(b?3a/6)?(6b?3a)?IIR??l2l?R???012???arctan(tan?22?l?R2???0?RRl?R??I??IIFBC?FCA??I2dl?01??01202??2?r?a?a0dlr
B I b IC a ?? 方向向左 l???0I1I2??1?2?2?l?R?
??0I1I22??adlb?3a3?l62
0４、 一圆形线圈由50匝表面绝缘的细导线绕成，圆面积为
Ｓ=4.0cm,放在另一个半径Ｒ=20cm的大圆形线圈中心，两者共轴，如图所示。大圆形线圈由100匝表面绝
2
缘的导线绕成。
?
?0I1I2?3a3?a?0I1I26b?23aln?b??l??0?3?ln6b?3a623????（１） （２）
求这两线圈的互感Ｍ；
当大线圈导线中的电流每秒减少50Ａ时，求小线圈中的感应电动势。
因FBC和FCA对于三角形的顶角C是对称的，平行于I1
的分量大小相等而方向相反，所以二者的合力为
解：（１）设大线圈的电流为Ｉ，在中心产生的磁感强度Ｂ的方向沿轴线，
?????II6b?23a?FBC?FCA?2FBCcos600ex?FBCex?012lnex小3?6b?3大a?NIdl?NI2?R?0NIB?0?2?0?4?4?R22RR为
因小线圈的半径远小于大线圈半径，故在小线圈
的平面内，磁场可看作是近似均匀的。通过小线圈的磁链为
B?磁
?0NI2?r通
量
为
?21?nBS?n
?0NI2RS???BdS??Ｓ Ｒ
D1/2D2?0NI?NhID1hdr?0ln/22?r2?D2 所求互感为
自
感
系
数
为
M?
?21?0nNS??6.3?10?6(H) I2R（２）小线圈中的感应电动势为
N??0N2hD1L??lnI2?D2
（
２
）
代
Ｄh Ｄ数
据
得
dI???M?3.1?10?4(V)
dt５、 如图所示，两长螺线管共轴，半径分别为Ｒ１和Ｒ２（Ｒ
１
入
>R２），长度为l(l<<Ｒ１和Ｒ２)，匝数分别为Ｎ１和Ｎ２。
?0N2hD1L?ln?1.4?10?3(H)
2?D22、证明：对于两个无限大的平行平面带电 求互感系数Ｍ１２和Ｍ２１，由此验证Ｍ１２＝Ｍ２１。 解：略去边缘效应，当里面螺线管载有电流I2时 B导体板来说，
（１）
2??0N2I2lＲl
1 2 相向的两面上，电
荷的面密度总是
3 4 通过外面螺线管的磁链为
?21?N1B2S2??0N1N2I22?R2
l大小相等而符号相反；
（２）
相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
（３）
若左导体板带电+3微库/米，右导体板带电+7微库/米，求四个表面上的
2
2
由互感系数的定义
M21?NN?2 ?21?012?R2I2l1 同理，当外面螺线管载有电流I1时，B 通过里面螺线管的磁链为
??0N1I1l电荷。
，
解：由对称性可知，在每个面上，电荷必定都是均匀分布的，
在两板间和两板外的电场必定都是均匀电场，电场强
?12?N2B1S1??0N1N2I1l2→?R2度的方向都与板面垂直。 （１）
作柱形高斯面如图所示，由高斯定理得
σ σM12?NN?2 ?12?012?R2I1l S???1E?dS?0?(?2??3)S?0
1 2
即：Ｍ１２＝Ｍ２１
（２）
６、 矩形截面螺绕环的尺寸如图所示，总匝数为Ｎ。
（１） （２）
求它的自感系数；
当Ｎ=1000 匝，D１=20cm,D2=10cm,h=1.0cm时，自感为多少？
解：（１）以环的中心为圆心，在环内作一圆形安培环路，由
对称性和安培环路定理可得
??2???3根据无限大带电平面均匀电荷产生电场强度的公式和电场强度的叠加原理，导体内任一点P的电场强度为
?????????1EP?1e?2(?e)?3(?e)?4(?e)?(?1??22?02?02?02?02?0?1??4