发布时间 : 星期四 文章凯莱-哈密尔顿(Caylay-Camilton)定理更新完毕开始阅读
现代控制理论基础
例：
?21?A????12????2?1?|?I?A|?det???2?4??3?0???1??2???1?1,?2?3设对应与λ1的特征向量为：
?p?p1??11??p12?Ap1??1p1?p11?p12?0?1??p1?????1?设对应与λ2的特征向量为：
?p?p2??21??p22?Ap2??2p2?p21?p22?0?1??p2????1?故：
?11??11?1?1?P??p1,p2????,P?2?11??11????1?1?1??21??11??A?P?1AP??????2?11???12???11??10????03??3）如果矩阵A虽有相重之特征值，但由λipi= Api 可解
出n个独立的特征向量，则P=（p1 ，p2 ，…pn ），可使成A?P?1AP为对角阵。 例：
?2A???1???112?1?1??1??2???I?A?0?3?6?2?9??4?0?1??2?1,?3?448
现代控制理论基础
设对应与λ1、λ2的特征向量为：
?p11??0??1??,Ap??p?p?p?p?0?p??1?,p??0?p1??p111112131??2?12?1??????p13???1???1??对应与λ3的特征向量为：
?p31??1??,Ap??p?p??1?p3??p323333???????p33????1??故：
?011??P??p1,p2,p3???101????11?1???100??A?P?1AP??010????004??e） 化矩阵A为约当标准形
下列情况下，可将矩阵A化为约当标准形 1）如果矩阵A 具有如下标准形式：
?0?0?A????0???a0100?a1010?a2??????0????1??an?1??0且A的特征值λj为k重根，此时与λj相对应的约当块为：
??j??????1?j?????1???j??k?k
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现代控制理论基础
范德蒙特矩阵P中对应部分变为：
??dpjd2pjdk?1pj??,pj,,,?,??2k?1d?jd?j??d?j??
其中：
?1?????j?pj???j2????????n?1??j?例如：
?0?0?A??0??0???a01000?a10100?a20010?a30?0??0??1??a4??
其特征值为λ1、λ1、λ1、λ2、λ2，此时：
?1???1P???12?3??14???1012?100213?126?14?1312?12?2?22?23?240?1??2?2??3?22?4?23??
而：
??1?0??1A?PAP?J??0??0??0
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101000?1000?100?200?0??0??1??2??现代控制理论基础
2）一般情况下，在A的n个特征值λ1、λ2、…λn中，有n-m个互不相同，有m个为重特征值，此时，可A 化为约当阵。
对于互不相同之特征值，特征向量pi由A pi=λi pi确定； 对于m重特征值λj，其相应的约当块为：
??j??????1?j?????1???j??m?m相应的变换矩阵部分为：
??pj,pj?1,?pj?m?1,??其中，特征向量pj由A pj=λj pj确定；广义特征向量pj+1、
pj+2、…pj+m-1、由下式确定：
λj pj+1+pj= A pj+1 λj pj+2+pj+1= A pj+2 …
λj pj+m-1+pj+m-2= A pj+m-1
例：设：
?06?5??A??102????324??特征值λ1=2、λ2=λ3=1，试化A为约当阵。
解：由λ1 p1=A p1得：p1=[2，-1，-2]T
由λ2 p2=A p2得：p2=[1，-3/7，-5/7]T 由λ2 p3+p2=Ap3得：p3=[1，-22/49，-46/49]T
??2?P??p1,p2,p3????1???2??251 ?J?P?1AP???0??013?75?700?11??01???1?22???49?46??49??