发布时间 : 星期日 文章[数学]2013新题分类汇编：解析几何（高考真题+模拟新题）更新完毕开始阅读
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1. 则圆C的半径为32＋?t－1?2＝3.
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组 ??x－y＋a＝0，? 22??x－3?＋?y－1?＝9.?
消去y，得到方程
2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0.从而
a2－2a＋1
x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①
2
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0. 又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以 2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①，②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.
大纲文数3.H3[2011·四川卷] 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( ) A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3) 大纲文数3.H3[2011·四川卷] D 【解析】 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，选D.
大纲理数8.H3[2011·重庆卷] 在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．52 B．102 C．152 D．202
1
所以四边形ABCD的面积为S＝|AC||BD|＝102.故选B.
2
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课标文数4.H4[2011·安徽卷] 若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1 C．3 D．－3
课标文数4.H4[2011·安徽卷] B 【解析】 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线经过圆的圆心(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a＝0，得a＝1.
课标理数17.H7，H3，H4[2011·福建卷] 已知直线l：y＝x＋m，m∈R.
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； (2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．
解
法二：
(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.
4＋m＝r，??
依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则?|2－0＋m|
＝r，?2?
2
2
?m＝2，
解得?
?r＝22.
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8. (2)同解法一．
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图1－4
课标文数18.H3，H4，H7[2011·福建卷] 如图1－4，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2
＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
??y＝x＋b，
课标文数18.H3，H4，H7[2011·福建卷] 【解答】 (1)由?2得x2－4x－4b＝0.(*)
?x＝4y?
因为直线l与抛物线C相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0. 解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0. 解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1， 故点A(2,1)．
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2. 所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
课标文数8.H4[2011·广东卷] 设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 课标文数8.H4[2011·广东卷] A 【解析】 设圆心C的坐标C(x，y)，由题意知y＞0，则圆C的半径为y，由于圆C与已知圆相外切，则由两圆心距等于半径之和，得x2＋?y－3?2＝1＋y，整理得：x2＝8(y－1)，所以轨迹为抛物线．
课标文数14.H4，H2[2011·湖北卷] 过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．
17
课标文数14.H4，H2[2011·湖北卷] 1或 【解析】 由题意，直线与圆要相交，斜率
7
必须存在，设为k，则直线l的方程为y＋2＝k(x＋1).又圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆
|k－1＋k－2|?2?2＝2，解得1，1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d＝心为(＝1－
?2?21＋k217
k＝1或.
7
课标文数15.H4，K3[2011·湖南卷] 已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25. (1)圆C的圆心到直线l的距离为________；
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．
1
课标文数15.H4，K3[2011·湖南卷] (1)5 (2)
6|－25|
【解析】 (1)圆心到直线的距离为：d＝2＝5;
3＋42
图1－4
(2)当圆C上的点到直线l的距离是2时有两个点为点B与点D，设过这两点的直线方
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程为4x＋3y＋c＝0，同时可得到的圆心到直线4x＋3y＋c＝0的距离为OC＝3，
又圆的半径为r＝23，可得∠BOD＝60°，由图1－2可知点A在弧BD上移动，弧长lBD11c
lBD＝×c＝，圆周长c，故P(A)＝＝.
66c6
课标文数20.H3，H4[2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A、B两点，且OA⊥OB，求a的值． 课标文数20.H3，H4[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1. 则圆C的半径为32＋?t－1?2＝3.
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组[来源:学&科&网] ??x－y＋a＝0，? 22
??x－3?＋?y－1?＝9.?
消去y，得到方程
2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0.从而
a2－2a＋1
x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①
2
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0. 又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以 2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①，②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.
大纲文数13.H4[2011·重庆卷] 过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．
大纲文数13.H4[2011·重庆卷] 2x－y＝0 【解析】 将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0配方得(x－1)2＋(y－2)2＝1，
∴该圆半径为1，圆心M(1,2)．
∵直线与圆相交所得弦的长为2，即为该圆的直径，
2－0
∴该直线的方程的斜率k＝＝2，
1－0
∴该直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.
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