发布时间 : 星期一 文章（课标通用）2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测30理更新完毕开始阅读
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[高考基础题型得分练]
1．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足→PA·→PB＝x2
，则点P的轨迹是( A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
答案：D
解析：→PA＝(－2－x，－y)，→
PB＝(3－x，－y)， ∴→PA·→PB＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2
＝x＋6.
2．在△ABC中，(→BC＋→BA)·→AC＝|→AC|2
，则△ABC的形状一定是( ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：C
解析：由(→BC＋→BA)·→AC＝|→AC|2
，得 →
AC·(BC→＋BA→－AC→
)＝0，
即→AC·(→BC＋→BA＋→CA)＝0，即2→AC·→
BA＝0， ∴→AC⊥→
BA，∴A＝90°.
又根据已知条件不能得到|→AB|＝|→
AC|， 故△ABC一定是直角三角形．
3．[2017·广东深圳调研]在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，则→AB·→
AC＝( ) A．23 B．2 C．－23 D．－2
答案：D
解析：由余弦定理，得
AB2＋AC2－BC222＋222
cos A＝－3
2AB＝＝－1
·AC2×2×2
2
，
) 1
→→→→?1?所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos A＝2×2×?－?＝－2，故选D.
?2?
4．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是( )
πA．－ 6C.π 3
πB．－ 32πD． 3
2
答案：D
解析：由已知，可得Δ＝|a|＋4a·b＝0， 122
即4|b|＋4×2|b|cos θ＝0，∴cos θ＝－.
22π
又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 3
→1→
5．[2017·浙江杭州质量检测]设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)，若AO＝AB31→
＋AC，则∠BAC＝( ) 3
A．30° C．60° 答案：C
→→→
解析：取BC的中点D，连接AD，则AB＋AC＝2AD.
→→
由题意，得3AO＝2AD，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°，故选C.
1312
6．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x＋|a|x＋a·bx在R上有极值，则
32向量a与b的夹角的范围是( )
B．45° D．90°
2
?π?A.?0，?
6??
C.?
?π?B．?，π?
?6??π2π?D．?，?
3??3
?π，π?
??3?
答案：C
解析：设a与b的夹角为θ. 1312
∵f(x)＝x＋|a|x＋a·bx，
32∴f′(x)＝x＋|a|x＋a·b， ∵函数f(x)在R上有极值，
2
2
∴方程x＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，
2
a2即Δ＝|a|－4a·b＞0，∴a·b＜. 42又∵|a|＝2|b|≠0，
a241a·b1
∴cos θ＝＜2＝，即cos θ＜. |a||b|a22
2
?π?又∵θ∈[0，π]，∴θ∈?，π?，故选C.
?3?
→?→→?→ABACABAC1→→→?·BC＝0且＋7．若非零向量AB与AC满足?·＝，则△ABC为( )
→??|→→→2
|AB||AC|?AB||AC|?A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰非等边三角形 答案：C
→??→ABAC?→
＋解析：由?·BC＝0知，
→??|→
?AB||AC|?→→
角A的平分线与BC垂直，∴|AB|＝|AC|； 由
AC11·＝知，cos A＝，∴A＝60°. →→22|AB||AC|
AB→→
∴△ABC为等边三角形．
→→
8．在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝2，则CM·CN的取值范围为( )
?5?A.?2，? ?2?
C．[3,6] 答案：D
B．[2,4] D．[4,6]
→→→
解析：设MN的中点为E，则有CM＋CN＝2CE， →
CM·CN＝[(CM＋CN)2－(CM－CN)2]
→21→2→21＝CE－NM＝CE－.
42
→1→→4
→→
3
32→
又|CE|的最小值等于点C到AB的距离，即，
2
?32?21→→
故CM·CN的最小值为??－＝4.
?2?2
→→
当点M与点A(或B)重合时，|CE|达到最大，易知|CE|的最大值为13， 2
→→
故CM·CN的最大值为6， →→
因此CM·CN的取值范围是[4,6]．
→→→→
9．[2017·广东广州综合测试]在△ABC中，若AB·AC＝AB·CB＝2，则边AB的长等于________．
答案：2
→→→→→→→→→→
解析：由题意知，AB·AC＋AB·CB＝4，即AB·(AC＋CB)＝4，即AB·AB＝4，∴|AB|＝2.
10．[2017·天津十二区县重点中学联考]在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，→→
点E在线段AB上运动，则EC·EM的最大值为________．
3答案：
2
解析：以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则
?32?2??＋?2?
2
2
＝
C(1,1)，M?1，?，
2
??
1?
?
设E(x,0)，x∈[0,1]，
1?1→→?2
则EC·EM＝(1－x,1)·?1－x，?＝(1－x)＋，
2?2?12
当x∈[0,1]时，(1－x)＋单调递减，
23→→
当x＝0时，EC·EM取得最大值.
2
11．[2017·山西太原模拟]已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．
答案：4
解析：由题意，可得
π??a·b＝3cos θ－sin θ＝2cos?θ＋?，
?6?
4