发布时间 : 星期五 文章线性代数期末复习题24072更新完毕开始阅读
线性代数
一. 单项选择题
1. 设 A、B 均为 n 阶方阵，则下列结论正确的是
。
(a) 若 A 和 B 都是对称矩阵，则 AB 也是对称矩阵
(b) 若 A 0 且 B 0 ，则 AB
0
(c) 若 AB 是奇异矩阵，则 A 和 B 都是奇异矩阵
(d) 若 AB 是可逆矩阵，则 A 和 B 都是可逆矩阵
1
2. 设 A 、B 是两个 n 阶可逆方阵，则
AB
1
等于（ ）
（ a） A
1
B
1
(b)
B A
1
（ c） B 1 ( A 1)
（ d） B 1
A
1
3. m n 型线性方程组 AX=b, 当 r(A)=m 时,则方程组
. (d) 有解
(a) 可能无解 (b) 有唯一解 (c) 有无穷多解
.
4. 矩阵 A 与对角阵相似的充要条件是 (a)A 可逆
(c) A 的特征多项式无重根
(b)A 有 n 个特征值
(d) A 有 n 个线性无关特征向量
5. A为 n 阶方阵 , 若 A
2
0 ，则以下说法正确的是
.
(a)
A 可逆 A =0
(b) (d)
A 合同于单位矩阵 AX
0有无穷多解
ABC E ，其中 E 是 n 阶单位矩阵，
(c)
6. ．设 A， B ， C 都是 n 阶矩阵，且满足关系式 则必有（ （ A） ACB
）
E （ B ） CBA E （ C） BAC E
（ D ）
BCA E
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7. ．若
a11
D
a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
2 ，则 D1
3a11 3a21 3a31
（C ） 24
4a11 a12 4a21 a22 4a31 a32
a13 a23 a33
（
）
（ A）
6 （ B） 6
（ D ）
24
二、填空题
1.A 为 n 阶矩阵， |A|=3 ，则 | AA |=
,|
2 A
1
A |=
.
1 1 2
0 2 1 ，则 A 的伴随矩阵 A* 0 0 3
2 ．设 A
；
2
1 1 1
，则 A ＝
1
3 ．设 A＝
3
。
4. R 中的向量
1 2 3 , 2 2 2 , 2 2 ,则
， | |= .
5. 设 3 阶矩阵 A 的行列式 | A | 8 ，已知 A有 2 个特征值 - 1 和 4，则另一特征值为
6. 二次型 f (x1 , x2 , x3 , x4 )
x
2 1
2 x
2 2
2 x
23
4 x1x2
2
4x2 x3 对应的矩阵是 [1,0,1],
3
.
7. 已知三维向量空间的一组基为：
1
[1,1,0],
。
[ 0,1,1] ，则向量
[2,0,0]
在这组基下的坐标为：
8. 如果二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x1
2
3x2
2
tx 3
2
2x1x2 2x1x3 是正定的，则 t 的取值范围
是 。
三、解答题
1. 设 AX
0 1 0 1 ， B 1
1 2 5
1 0 3
，求 X
B X ，其中 A
1 1 1 0
a 0 c 0
2. 计算
0 a 0 c b 0 d 0 0 b 0 d
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3. 求向量组
2
1
3
2
1
3
16
4
5 , 1
4 , 1
3 , 1
39 的一个极大线性无关组，并将其 9
他向量用该极大线性无关组线性表出 .
x1 2 x2
4 ．设线性方程组
2 x3 x3
0
0 , 问 取何值时方程组有非零解？并求通解 0
2 x1 3x1
x2 x2
x3
,写出其基
础解系 .
x1
5. 已知方程组
x2 x2
kx3 2 x3
x3
4
x1
4
x1 kx2
k
2
k 为何值时，方程组有唯一解？无穷多解？无解？ （ 1 ）
（ 2 ）在有无穷多解时，求出方程组的通解。
6 ．已知二次型 f ( x1, x2 , x3 )
2 x1x2 2 x1x3 2 x2 x3 , 利用正交变换化 f 为标准形 ,并写出相
应的正交矩阵 .
四、证明题
若 A
2
2 A 4 E 0 ,证明 A E 可逆 ,并求 ( A E ) .
1
答案
一、 (1) d
(2)a (3) d (4) d (5) d （ 6） d （ 7） d
二、 (1) 9 ; 3
n 1
6
(2)
3 3 0
3 1 2
（ 3 ）
1 1 1 2
0
（ 4 ） 1
; 14
(5)
-2
0 0
2
3 5
(6)
1 2 0
2 2 2
0 2
（ 7） [1,1, 1]
（ 8） t
2
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三、 (1) 由 AX
B X 得： (A E) X
1 1 1 0 1 0
0
1 ， A E 2
B
因为 A E
3 0 ，所以 A E 可逆 。
0
1
2 3 2 1 3 1 1
3 1 2
( A E)
1 ，故 3 3 X
(A E) B 2 0 (2)
(ad bc)
1 1
0
1 1 3
3
( 3 )
2 8 1
,
2
,
3
;
17 4
3
1
3
2 3
3
( 4 )
1 时 有 非 零 解
X
k 0 1 1
T
k T
取任意数
0 1 1 为基础解系
1 1
k
(5)
A
1
1 2 ( k 1)( k 4)
1 k
1
(1)
当 k 1且 k 4 时，方程组有唯一解 ;
1 1 1 4 1 1 1 4 (2)
当 k
1时， A b
1 1 2 4 0 2 3 8 1
1 1
1
0
0
0
3
r ([ A b])
r (A) ，方程组无解；
1
1
4
4 1 0 3 0 （ 3 ）当 k
4 时， A b
1 1 2 4 0 1 1 4 1
4 1
16
0 0 0
0
r ([ A b])
r ( A) 2 3 ，方程组有无穷多解，
x1 3 0
通解为 :
x2 x3
1 4 ，
（ x3 为任意常数）
x3
1
0
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;