发布时间 : 星期二 文章上海市闵行区2018-2019学年高二下学期期末数学试卷 Word版含解析更新完毕开始阅读
23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为
，动点P的轨迹记为C．
（1）求轨迹C的方程；
22
x2+=r（r＞0）（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：（y﹣0.5）上运动，且总有|MN|
≥0.5，
求r的取值范围；
（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）设点P（x，y），由题意可得：
=
=
，化简即可得出．
（2）E（0，）．分类讨论：①r≥＜
+，设M
+，根据|MN|≥0.5，可得r≥，|MN|=|EN|﹣r
++．②0＜r
，解得r≤|EN|﹣的最小值，
即可得出r的取值范围．
（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +
=1，0）解得y=±．取点T（1，时满足
=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得
=（x1﹣1）（x2﹣1）+
=
=
=0．即可证明． ，化为：x2+
【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得：=1．
（2）E（0，）． 分类讨论：①r≥②0＜r＜
+，∵总有|MN|≥0.5，∴r≥
，
++=+1．
+，设M
，解得r≤|EN|﹣=
﹣，
|MN|=|EN|﹣r=
﹣
∴．
∪
．
综上可得：r的取值范围是
（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取A，
B．
=0． 取点T（1，0）时满足
下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．
设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立
，化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，
∴x1+x2=则
，x1x2=
．
=（1+k2）
=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+
（x1+x2）+1+
=（1+k2）×
x1x2+
﹣×+1+
=0．
∴在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．
2016年9月27日