发布时间 : 星期三 文章精选2019版高中数学第一章三角函数章末复习课导学案更新完毕开始阅读
第一章 三角函数
学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换.
1.任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y； (2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x； yy
(3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x≠0).
xx2.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sinα＋cosα＝1.
πsin α?
α≠kπ＋，k∈Z?(2)商数关系：tan α＝ ??.
2cos α??3.诱导公式
π
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，
2函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. 4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 2
2
图象 {x|x∈R且x≠ 定义域 R R ?πkπ＋，k∈Z? 2?值域 [－1，1] [－1，1] 对称轴：x＝R π对称轴：x＝kπ＋2对称性 (k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z) kπ(k∈Z)； 对称中心：?kπ?对称中心：?，0??2?(k∈Z)，无对称轴 ?kπ＋π，0???2??(k∈Z) 偶函数 最小正周期：2π 奇偶性 周期性 奇函数 最小正周期：2π 奇函数 最小正周期：π 在错误! (k∈Z)上单调递单调性 增；在在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在π在开区间(kπ－，2πkπ＋)(k∈Z)上递2增 ?π＋2kπ，3π ＋2kπ? [2kπ，π＋?2?2??2kπ](k∈Z)上(k∈Z)上单调递减 π在x＝＋2kπ(k∈Z)2单调递减 在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 最值 π时，ymax＝1；在x＝－＋22kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 无最值
类型一 三角函数的概念
例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－则y＝ . 答案 －8
解析 r＝x＋y＝16＋y，且sin θ＝－
22225
，5
25
， 5
yy25
所以sin θ＝＝＝－，所以θ为第四象限角，解得y＝－8. 2
r516＋y反思与感悟 (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值. yx
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0).则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α
rr的三角函数值时，用这几个公式更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 跟踪训练1 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值. 解 ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)， 则x＝4t，y＝－3t.
r＝x＋y＝?4t?＋?－3t?＝5|t|.
y－3t3
当t＞0时，r＝5t，sin α＝＝＝－，
r5t5x4t4y－3t3
cos α＝＝＝，tan α＝＝＝－；
r5t5x4t4y－3t3
当t＜0时，r＝－5t，sin α＝＝＝，
r－5t5
2222x4t4y－3t3
cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.
r－5t5x4t4343
综上可知，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－
554343
或sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. 554
类型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用
例2 已知关于x的方程2x－(3＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π).求：
2
?π?sin?＋θ?
?2?
(1)＋；
π1＋tan?π－θ???cos?－θ?＋cos?－π－θ??2?
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值. 解 由根与系数的关系，得 sin θ＋cos θ＝m
sin θcos θ＝. 2
sinθcos θ
(1)原式＝＋
sin θ－cos θ1－tan θsinθcos θ
＝＋ sin θ－cos θsin θ
1－
cos θsinθcosθ
＝－ sin θ－cos θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝
3＋1
. 2
3＋1
， 2
2
2
2
2
?2?3π
cos?－θ?
?2?
3＋1
， 2
(2)由sin θ＋cos θ＝两边平方可得
4＋23
1＋2sin θcos θ＝，
4m3
1＋2×＝1＋，
22m＝
3. 2
332
可解方程2x－(3＋1)x＋＝0， 22
(3)由m＝
13
得两根和.
22
1
sin θ＝，?2?∴?
3
cos θ＝??2
3
?sin θ＝，?2 或 ?
1
cos θ＝.??2
2
∵θ∈(0，2π)， ππ
∴θ＝或. 63
反思与感悟 (1)牢记两个基本关系式sinα＋cosα＝1及
2
sin α
＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函cos α
数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)＝1±2sin αcos α.
π
(2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.
2sin?π－α?·cos?2π－α?·tan?－π＋α?
跟踪训练2 已知f(α)＝. sin?－π＋α?·tan?－α＋3π?(1)化简f(α)；
1ππ
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
84247π
(3)若α＝－，求f(α)的值.
4
sinα·cos α·tan α
解 (1)f(α)＝＝sin α·cos α.
?－sin α??－tan α?1
(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，
8
(cos α－sin α)＝cosα－2sin α·cos α＋sinα 13
＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝.
84又∵
ππ
<α<，∴cos α 3 . 2 2 2 2 2 22 ∴cos α－sin α＝－ 47ππ (3)∵α＝－＝－6×2π＋， 44∴f?－ ?47π?＝cos?－47π?·sin?－47π? ?????4?4?4???? π?π???＝cos?－6×2π＋?·sin?－6×2π＋? 4?4???＝cos π π221 ·sin＝×＝. 44222 类型三 三角函数的图象与性质 π 例3 将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向上平移1 3个单位长度，得到函数y＝3sin x的图象.