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第五章 常用概率分布
第四章 常用概率分布
随机变量(random variable)的性质取决于它的分布规律。本章介绍三个最常用的理论分布，包括离散型变量的二项分布(binomial distribution)与Poisson分布(Poisson distribution)，以及连续型变量的正态分布(normal distribution)。医学研究中的很多随机现象可以用这三种分布之一进行描述。为便于教学，读者需要复习高等数学课程中已经学过的概率论基本知识。
第一节 二项分布 一、二项分布的概念与特征
先看一个小实验。一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球，我们进行盲法摸球游戏，每次摸1球，然后放回再摸。如此重复。先后摸5次，摸到黄球的次数可能是0次，可能是1次、2次等，也可能5次都摸到黄球。请问摸到黄球的次数为0的概率有多大？摸到黄球的次数为1的概率有多大？摸到黄球的次数为2的概率有多大？5次均摸到黄球的概率又是多大呢？你会算吗？
在这个实验中，由于黄球的比例是2/5，白球的比例是3/5。又，该实验为有放回的实验，因此每一次摸到黄球的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6。如果5次里前X次摸到的是黄球，以后5－X次摸到的是白球，相应的概率是0.4X0.65?X。因为摸到黄球可能发生在5次中的任意X次中，因此5次里有X次摸到黄球的概率为C5X0.4X0.65?X。其中，C5X表示“5取X的组合数”。该实验有三个特点：① 各次摸球是彼此独立的；② 每次摸球只有二种可能的结果，或黄球或白球；③ 每次摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定的。具备以上三点，n次中有X次摸到黄球的概率分布就是二项分布。
例4-1 用针灸治疗头痛，假定结果只有两种可能，不是“有效”就是“无效”，每一例有效的概率为π。某医生用此方法治疗头痛患者3例，2例有效的概率是多少？
用Ai表示第i例有效，Ai表示第i例无效。因为每例有效的概率相同，且各例的治疗结果之间彼此独立，3例患者中可以是其中的任意2例有效，所以3例
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第五章 常用概率分布
中2例有效的概率为：
P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?C?(1??)232
推而广之，医学研究中很多现象的观察结果是以两分类变量来表示的，如阳性与阴性，治愈与未愈，生存与死亡等。如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为?，阴性结果的发生概率均为（1－?）；且各个观察对象的结果是相互独立的，那么，重复观察n个对象，发生阳性结果的次数X的概率分布服从二项分布，记作B（n，?）。
二项分布的概率函数P(X)可用公式（4-1）来计算。
P(X)?CnX?X(1??)n?X （4-1）
其中
CnX?n!X!(n?X)! （4-2）
！为阶乘符号，n!?n(n?1)(n?2)?1，如3！=3×2×1，0！定义为1。
例4-2 如果例4-1中?=0.6，随机治疗3例，有效例数为0例、1例、2例和3例的概率各多大？1例及以上有效的概率多大？
根据（4-1）式，0例有效的概率为
00.60(1?0.6)(3?0)?0.43?0.064 C31例及以上有效的概率可表示为
P(X?1)?P(1)?P(2)?P(3)?0.288?0.432?0.216?0.936
同理，可算得有效例数分别为1、2和3的概率，见表4-1。
表4-1 治疗3例可能的有效例数及其概率
有效人数(X)
0
1 2 3
C3X
1 3 3 1
?X
0.60 0.6 0.6×0.6 0.6×0.6×0.6
(1－?)n-X 0.4×0.4×0.4
0.4×0.4 0.4 0.40
出现该结果的概率P(X)
0.064 0.288 0.432 0.216
由表4-1可知，由于只有4种可能结果，各种可能结果出现的概率之和为1，即?P?X??1。据此，1例及以上有效的概率又可表示为
P(X?1)?1?P(0)?1?0.064?0.936
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两者结果相同。
（三）二项分布的特征
二项分布的特征由二项分布的参数?以及观察的次数n决定。 1．二项分布的图形特征
在n次独立重复的试验中，若某事件发生的概率为?，则该事件的发生次数X服从二项分布。用图形表示，以X为横轴，以对应于X的概率P(X)为纵轴，对所有可能的X (0≤X≤n) 分别用垂直于横轴、长度为P(X)的线段表示相应的概率，得二项分布图。
从图形可知，二项分布的高峰在?=n?处或附近；? 为0.5时，图形是对称的；当?不等于0.5时，分布不对称，且对同一n，? 离0.5愈远，对称性愈差。对同一?，随着n的增大，分布趋于对称。当n→∞时，只要?不太靠近0或1，（特别是当n?和n(1－?)均大于5时），二项分布趋于对称。
P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
0 1 2 3
P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n=3,π＝0.5 n=10,π＝0.5
图4-1 π=0.5时，不同n值对应的二项分布
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P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1
P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1
0 1 2 3
0.0
0.0
0 1 2 3 4 5 6
P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1
0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1 213 14 1 5
图4-2 π=0.3时,不同n值对应的二项分布
图4-1和图4-2 给出了?=0.5和 ?=0.3时不同n值对应的二项分布图。 2．二项分布的均数和标准差 例4-3 求例4-2资料的均数和方差。
在例4-2中，总共治疗三个患者 n=3，有效概率? =0.6，有效的人数可能为0个人，1个人，2个人或3个人，对应的概率分别为0.064，0.288，0.432和0.216。根据总体均数（又称数学期望，下略）和方差的定义，有效人数的均数为
E(X)??XP(X)?0?0.064?1?0.288?2?0.432?3?0.216?1.80
方差为
Var(X)?E?X?E(X)????X?E(X)?P(X)?(0?1.80)2?0.064?(1?1.80)2?0.288?...?(3?1.80)2?0.216?0.7222
事实上对于任何二项分布问题，如果每一次试验出现阳性结果的概率均为，?，进行n次独立重复试验，出现X次阳性结果，那么，可以证明（见附录）X的总体均数为
??n? （4-3）
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