发布时间 : 星期二 文章（整理）第九章级数更新完毕开始阅读
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面，un单调递减的条件也不是必要的。例如，级数1?1?1?1???23223411???收敛，且为绝对32(2n?1)(2n)收敛，但其一般项un趋于零时并不具有单调递减性。由上说明了莱布尼兹判别法的判别交错级数的充分条件，非必要。
7．幂级数
幂级数及其逐项求导与逐项求积分后级数具有相同的收敛半径，但未必有相同的收敛域，设幂级数
??ann?1的收敛域分别是I、I和I，则它们有如n?1与逐项积分后级数n逐项求导后级数naxxax123???nnn?1n?1n?1n?0?下的关系：I?I?I
213由于逐项求导或逐项积分后幂级数的收敛半径不变，所以这些级数的收敛性只能在收敛区间的端点处
n?1??发生改变，比如?xn的收敛域为(?1,1)，逐项积分后幂级数?x的收敛域为[?1,1).一般而言，若幂级数在
n?0n?0n?1收敛区间的端点处发散，则逐项求导后的级数在该点处必定发散，而逐项积分后的级数在该点处可能收敛；若幂级数在收敛区间的端点处收敛，则逐项求导后的级数在该点处可能发散，而逐项积分后的级数在该点处必定收敛。
8．函数展开成幂级数
（1）函数f(x)的泰勒级数与f(x)的泰勒展开式不是同一个概念
(n)?若函数f(x)在点x0的某邻域内有任意阶导数f(n)(x)，则?f(x)(x?x0)n就是函数f(x)的泰勒级数。
n?0n!此级数是否在点x0的某邻域内收敛，若收敛，其和函数是否是f(x)，还需要用收敛定理检查。只有当级数
?n?0?f(n)(x)(x?x0)n在点x0的某邻域内收敛且收敛于f(x)时，才可以说f(x)在点x0的某邻域内可展开成泰勒n!n!(n)?级数，并把f(x)和它的泰勒级数用等号连接起来，即f(x)??f(x)(x?x0)n就是f(x)的泰勒展开式。
n?0（2）幂级数的间接展开法
间接法将函数展开成幂级数，是根据一些已经证实了的函数的幂级数展开式，利用等量代换，或利用幂级数的四则运算法则，或利用幂级数逐项求导与逐项积分的性质，获得所给函数的幂级数展开式。由于函数的幂级数展开式是唯一的，因此间接法与直接法展成的幂级数是一致的，这就是间接法的理论依据。
利用间接法求函数的幂级数展开式的好处是省去了直接法中对各阶导数f(n)(x)的计算，又避免了验证余项的极限limRn(x)?0.
n??由于用间接法将函数展开成幂级数时要用到一些已知的函数的幂级数展开式，所以必须记住下列函数的展开式：
e??1xnn?0n!x?1??xn1?xn?0???(?1)n2n?1x?(??,??)； sinx??xn?0(2n?1)!?(?1)2nxx?(??,??)；cosx??n?0?n(2n)!x?(??,??)；
(?1)x?(?1,1)； ln(1?x)??n?1n?1nxnx?(?1,1]；
nn(1?x)m??Cmxn?0n?(m?R)其中Cm定义为Cmnm(m?1)(m?2)?(m?n?1),x?(?1,1).
n!三、典型例题分析浏览及解题方法技能技巧解读 （一）根据级数收敛与发散的定义判定级数的敛散性 例 判定下列级数的敛散性
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（1）?解 （1）∵un??1 （2）?sinn?
6n?1n(n?1)n?1?111 ∴
s?1?1???1?(1?1)?(1?1)???(1?1)?1?1 ??n1?22?3n(n?1)223nn?1n?1n(n?1)nn?1从而有 limsn?lim(1?1)?1 所以这个级数收敛，其和为1
n??n??n?1x?cos(n?1)xcos（2）由积化和差公式可得sinx?sin2x?sin3x???sinnx?22 即
2sinx2cos??cos2n?1? 而?2?3?n?1212limsn不存在，所以原级数发散。 s?sinx?sinx?sinx???sinx?n??n66662sin?12【注】部分和数列无界或部分和极限不存在，级数必发散
（二）利用级数收敛的必要条件判定级数的发散性 例 判定级数?3的敛散性
n?1?n2nn解 由于un?3?1 所以limun不存在，故原级数发散
n2n??（三）根据收敛级数的基本性质以及几何级数判定级数的敛散性
?例 判定级数?[(a)n?(b)n]的敛散性
n?1a?ba?b???解 ∵0?a?1,0?a?1 ∴?(a)n 与?(b)n都收敛，所以?[(a)n?(b)n]收敛
a?ba?bn?1a?bn?1a?bn?1a?ba?b（四）利用正项级数收敛法判定级数的敛散性 1．用比较判别法或极限形式进行判别 例 判定级数?4?(?1)的敛散性
n?1?n2nn??解 由于4?(?1)?5，而?1收敛的，即?5收敛 所以原级数收敛
nnnn22n?12n?122．用比值判别法（达郎贝尔判别法）进行判别
n?1?例 判定级数?n的敛散性
n?1(n?1)!n?1解 记un?n 由于limun?1?limn?1(n?1)n?1?e?1 所以原级数发散。
(n?1)!?n??unn??n?2n3．用根式判别法（苛西判别法）进行判别 例 判定级数?2?(?1)的敛散性
n?1n2n解 由于limnun?lim1n2?(?1)n?1，所以原级数收敛
n??n??22（五）讨论级数的绝对收敛与条件收敛性 例 讨论下列级数的绝对收敛与条件收敛性
（1）?(?1)n?1?n?1?n?1sinn?1 ? （2）?(?1)nln?n?1nn?1n?1n?1??解 （1）因为(?1)sin??1 而?1收敛 所以?(?1)sin?绝对收敛
n?1n?1n?1n?1?n?1?n?1n?1?n?1?精品文档
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（2）?(?1)nlnn?1??lnn?1发散 lnn?1单调递减趋于零，由交错级数知?(?1)nlnn?1收敛，故
???n?1nn?1nnn?1n原级数条件收敛。
（六）用莱布尼兹判别法判别交错级数的敛散性
（七）求幂级数的收敛半径、收敛域或和函数
1．求幂级数的收敛半径、收敛域
nn?例1 求幂级数?3?5xn的收敛域
n?1n3nn3()n?53?5an?1n解 记an? 由于 所以幂级数的收敛半径为1 5lim?lim?5n5n??an??n?13nn()?1533nn()n?1?(?)?(?1)当x?1时，级数?5发散；当x??1时，级数?5收敛，故幂级数的收敛域为[?1,1)
5555nnn?1n?1?
2．求幂级数的和函数
4n?1?例2 求幂级数?x的和函数
n?14n?1
解 这是缺项的幂级数，由于limun?1?lim4n?1x4?x4
n??unn??4n?5
当x?1时，级数发散；当x?1时，级数收敛。
4n?1??在x??1时，都发散，故级数收敛域为(?1,1),设s(x)??x,s(0)?0 又s?(x)??x4n??1?n?14n?1n?11 1?x4所以s(x)?s(x)?s(0)??x011?x1s?(t)dt??x?ln?arctanx41?x2(?1,1)
【注】本例利用了逐项求导或逐项积分的方法求幂级数的和函数。 （八）将函数展开成幂级数
1．利用直接法可将函数展开成幂级数。 2．利用间接法可将函数展开成幂级数。
3．利用逐项求导或积分可将函数展开成幂级数。
（九）将函数展开成傅立叶级数
1．将函数直接展开成傅立叶级数。 2．可将函数展开成正弦或余弦级数。
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