发布时间 : 星期三 文章高中数学求函数值域的方法更新完毕开始阅读
由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。
∴原函数的知域为{y|y≥5}。 例3.求函数y?1?x?1?x的值域。
解析:令u?1?x,v?1?x,则u?0,v?0,u2?v2?2,u?v?y,原问题转化为:当直线u?v?y与圆u2?v2?2在直角坐标系uov的第一象限有公共点时,求直线的截距的取值范围。
由图1知:当u?v?y经过点(0,2)时,ymin?当直线与圆相切时,ymax?OD?2OC?所以,值域为2?y?2
例4. 求函数y?x2?6x+13?x2?4x+5的值域。
解:将函数变形为y?(x?3)2?(0?2)2?(x?2)2?(0?1)2 上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(?2,1)到点P(x,0)的距离之差。即
2; V?2?2?2。 2BDCEOA 2Uy?AP?BP
由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点P?,则构成?ABP?,根据三角形两边之差小于第三边,有AP?BP?AB?(3?2)2?(2?1)2?26 即?26?y?26
(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有AP?BP?AB?26 综上所述,可知函数的值域为(?26,26]
注:求两距离之和时,通常需要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧。 (12)复合函数法:
对函数y?f(u),u?g(x),先求u?g(x)的值域充当y?f(u)的定义域,从而求出y?f(u)的值域的方法。
3x例1、求函数y?x 的值域
3?1
(复合函数法)设3x?1?t ,
3x?1?111?t?1? ?1??1?则y?xxt3?13?11?t?1?0??1t ?原函数的值域为?01?
例2:求函数y?log1(?2x2?5x?3)的值域。 ?,???
?8?2(13)非负数法
根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。
?0?y?1
?49?x2?3例1、(1)求函数y?16?x的值域。 (2)求函数y?2的值域。
x?12解析:(1)?0?16?x2?16, ?0?16?x2?4
4?。 故 所求函数的值域为 y??0,222(2)?x2?1?0,?原函数可化为 y(x?1)?x?3,即 x(1?y)?y?3, 当y?1时,
x2?y?3y?3?0,解得?3?y?1 , ?x2?0,?1?y1?y又 y?1, 所以 ?3?y?1,
1)故 所求函数的值域为 y?[?3,。
(不等式性质法) 例2:求下列函数的值域:
2x2?4x?1066 (1)y=2; (2)y=2; (3)y=
x?2x?2x?22sinx?1 (4)y=10-16?x2; (2)y=?3()x?4(x??1); (3)y=log2(x2?)(x?) (14)导数法
若函数f在(a,b)内可导, 可以利用导数求得f在(a,b)内的极值, 然后再计算f在a,b点的极限值. 从而求得f的值域.
121412
例1: 求函数f(x)?x3?3x在(?5,1)内的值域.
2分析:显然f在(?5,3)可导,且f?(x)?3x?3. 由f?(x)?0得f的极值点为x?1,x??1.
f(?1)?2,f(1?0)??2. f(?5?0)?140.
所以, 函数f的值域为(?2,140). (15)“平方开方法”
求函数值域的方法有很多种,如:“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤,并给出四道典型的例题.
1.适合函数特征
设f(x)(x?D)是待求值域的函数,若它能采用“平方开方法”,则它通常具有如下三个特征: (1)f(x)的值总是非负,即对于任意的x?D,f(x)?0恒成立; (2)f(x)具有两个函数加和的形式,即f(x)?f1(x)?f2(x)(x?D); (3)f(x)的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式,即
f2(x)?[f1(x)?f2(x)]2?c?g(x)(x?D,c为常数),
其中,新函数g(x)(x?D)的值域比较容易求得. 2.运算步骤
若函数f(x)(x?D)具备了上述的三个特征,则可以将f(x)先平方、再开方,从而得到
f(x)?c?g(x)(x?D,c为常数).然后,利用g(x)的值域便可轻易地求出f(x)的值域.例如
g(x)?[u,v],则显然f(x)?[c?u,c?v].
3.应用四例
能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.
例1 求函数f(x)?b?x?x?a(x?[a,b],a?b)的值域.
解:首先,当x?[a,b]时,f(x)?0;
其次,f(x)是函数f1(x)?b?x与f2(x)?x?a的和;
最后,f2(x)?b?a?2(b?x)(x?a)?b?a?2?x2?(a?b)x?ab
可见,函数f(x)满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对f(x)平方、开方得
f(x)?b?a?2?x2?(a?b)x?ab(x?[a,b]).这里,g(x)?2?x2?(a?b)x?ab(x?[a,b]).对
g(x)根号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得g(x)的值域为[0,b?a].于是,f(x)的值域为[b?a,2(b?a)].
ab例2 求函数f(x)?b?kx?kx?a(x?[,],a?b,k?0)的值域.
kk解:显然,该题就是例1的推广,且此题的f(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,
ab对f(x)平方、开方得f(x)?b?a?2?k2x2?k(a?b)x?ab(x?[,]).这里,
kkabg(x)?2?k2x2?k(a?b)x?ab(x?[,]).对g(x)根号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得
kkg(x)的值域仍为[0,b?a].于是,f(x)的值域也仍为[b?a,2(b?a)].
例3 求函数f(x)?|sinx|?|cosx|(x?R)的值域.
解:参照例1的验证步骤,显然,此题的f(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对f(x)平方、开方得f(x)?1?|sin2x|(x?R).这里,g(x)?|sin2x|(x?R).易知,g(x)的值域为[0,1].于是,f(x)的值域为[1,2].
例4 求函数f(x)?sinx?cosx?sinx?cosx(x?R)的值域.
解:参照例1的验证步骤,显然,此题的f(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对f(x)平方、开方得f(x)?2?2|cos2x|(x?R).这里,g(x)?2|cos2x|(x?R).易知,g(x)的值域为[0,2].于是,f(x)的值域为[2,2].
例5 求函数y?x?3?5?x 的值域
解:(平方法)函数定义域为:x??3,5?
y2?(x?3)?(5?x)?2?x2?8x?15
由x??3,5?,得?x2?8x?15??0,1??y??2,4?2
?原函数值域为2,2??平方法)函数定义域为:x??3,5?