发布时间 : 星期五 文章2015年江苏省高考数学试题及答案(理科)【解析版】(DOC)更新完毕开始阅读
17．（14分）（2015?江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型． （1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t． ①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
考点： 函数与方程的综合运用． 专题： 综合题；导数的综合应用． 分析： （1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值； （2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域； ②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度． 解答： 解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5）， 将其分别代入y=，得， 解得， （5≤x≤20），P（t，）， （2）①由（1）y=∴y′=﹣， ∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t） ，0），B（0，）， 设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（∴f（t）==，t∈[5，20]； ②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10， t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数， 从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值， ∴g（t）min=300， ∴f（t）min=15， 答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米． 点评： 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键． 18．（16分）（2015?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）
的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程； （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程； （2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程． 解答： 解：（1）由题意可得，e==， 且c+=3，解得c=1，a=， +y=1； 2则b=1，即有椭圆方程为（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意； 当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 2222将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k）x﹣4kx+2（k﹣1）=0， 则x1+x2=，x1x2=， 则C（，），且|AB|=?=， 若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意； 则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，）， 从而|PC|=， 由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1， 此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1． 点评： 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题． 19．（16分）（2015?江苏）已知函数f（x）=x+ax+b（a，b∈R）． （1）试讨论f（x）的单调性；
（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．
考点： 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理． 专题： 综合题；导数的综合应用． 分析： （1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性； 32
（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（）=+b，则函数+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值． 32解答： 解：（1）∵f（x）=x+ax+b， 2∴f′（x）=3x+2ax， 令f′（x）=0，可得x=0或﹣． a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增； a＞0时，x∈（﹣∞，﹣＜0， ∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减； ）时，f′（x））∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣＜0， ∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）=）上单调递减； +b，则函数（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣∵b=c﹣a， ∴a＞0时，设g（a）=﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c， ﹣a+c＜0． ）=b（+b）＜0， ∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞）， ∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立， ∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0， ∴c=1， 322此时f（x）=x+ax+1﹣a=（x+1）[x+（a﹣1）x+1﹣a]， ∵函数有三个零点， 2∴x+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根， 22∴△=（a﹣1）﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）﹣（a﹣1）+1﹣a≠0， 解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞）， 综上c=1． 点评： 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论