发布时间 : 星期四 文章第九章-欧氏空间习题更新完毕开始阅读
第九章欧氏空间习题
一、填空题
1．设V是一个欧氏空间，??V，若对任意??V，都有(?,?)?0，则??______。 2．在n维欧氏空间V中，向量?在标准正交基?1,?2,L,?n下的坐标是(x1,x2,L,xn)，那么(?,?i)?____，|?|?____。
3．若A?(aij)3?3?a11x1?a12x2?a13x3?b1?是一个正交矩阵，则方程组?a21x1?a22x2?a23x3?b2的解
?ax?ax?ax?b?3113223333为 。
?1?10???4.已知三维欧式空间V中有一组基(a1,a2,a3)，其度量矩阵为A??120，则???003???向量??2?1?3?2??3的长度为 。
5.设?2?21?(?,?)??'A?A?中的内积为，??则在此内积之下的度量矩阵
12??为 。
?2?(2,1,?2)，??k?1??2，6．设?1?(0,?1,1)，若?与?2正交，则k? 。
?200???7．若欧氏空间V在某组基下的度量矩阵为031，某向量在此组基下的坐标为???011???(1,1,1),则它的长度为 ，在此基下向量(1,1,1)与向量(1,?1,1)的夹角为 。
8．在欧氏空间中，若?,?线性相关，且??2,??3，则(?,?) 。
0??11??是度量阵，则必须满足条件______________。
9．A?1k0k???00k?2???10．线性空间在不同基下的过渡阵、线性变换在某组基下的矩阵、欧氏空间的度量阵这三类矩阵中，可以为退化阵的是 。
11. 在欧氏空间R中，向量??(1,0,?1)，??(0,1,0)，那么(?,?)=___________，
3?=___________。
12. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________。
?113. 已知A是一个正交矩阵，那么A=__________，A＝__________。
214. 已知A为n阶正交阵，且A?0，则A= 。 15. 实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的。 16.设X??1,1,0,0?',Y??1,0,0,1?'，则X与Y的夹角?? 。
17.在n维欧氏空间V中，n级矩阵A是V某个基的度量矩阵的充要条件是 。 二、判断题
1．在实线性空间R2中，对向量??(x1,x2)，??(y1,y2)，定义
(?,?)?x1y1?x2y2?1，那么R2构成欧氏空间 （ ）
2．在实线性空间Rn中，对于向量??(a1,a2,L,an)，??(b1,b2,L,bn)，定义
(?,?)?a1b1，则Rn构成欧氏空间。 （ ）
3．?1,?2,L,?n是欧氏空间V的一组基，对于V中任意向量
?,?，均有
(?,?)?x1y1?x2y2?L?xnyn，(y1,y2,L,yn)分别是在此基下的坐标）（(x1,x2,L,xn)，），
则此基必为标准正交基。 （ ）
4．欧氏空间R中的线性变换可以将椭圆映射成圆。 （ ） 5．V与W均欧氏空间且同构，则它们作为线性空间也必同构。 ( ) 6．设V是一个欧氏空间，?,??V，??（） ?，则???与???正交。
3
7．设V是一个欧氏空间，?,??V,并且(?,?)?0，则?,?线性无关。（ ） 8．若?,?都是欧氏空间V的对称变换，则??也是对称变换。 （ ） 9．欧氏空间R中，?(x?y)?(2x?y,x?2y)为对称变换。 （ ）
n?是欧氏空间V的线性变换，10．V中向量?,?的夹角为
??，而??,??的夹角为，23则?不是V的正交变换。 （ ）
11.?1,?2,L,?n是n维欧氏空间的一组基，矩阵A?aij是正定矩阵。( )
12. 欧氏空间R中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （ ） 13. 若T是正交变换，则T保持向量的内积不变 （ ） 14. 正交矩阵的行列式等于1 （ ）
15. 欧氏空间V上的线性变换?是对称变换的充要条件为?关于标准正交基的矩阵为
实对称矩阵。 （ ）
16. 设A与B都是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵。（ ） 17. 在欧氏空间V中，若向量?与自身正交，则??0。( )
n??n?n，其中aij?(?i,?j)，则A
18. 设A是n维欧氏空间V的正交变换，则A在V任意基下的矩阵是正交矩阵。( ) 19. 设V1,V2是n维欧氏空间V的两个正交子空间且V?V1?V2，则V?V1?V2。( ) 20. 实对称矩阵A的任意两个特征向量都正交。( ) 三．选择题
1．关于欧几里得空间，下列说法正确的是 （ ） (A)任一线性空间都能适当定义内积成为欧几里得空间； (B)欧几里得空间未必是线性空间； (C)欧几里得空间必为实数域上的线性空间； (D)欧几里得空间可以为有理数域上的线性空间。
2． 设?,?是相互正交的n维实向量，则下列各式中错误的是 （ ） （A）???(C)
22???? （B） ???????
2222??????? （D）???????
3． 对于n阶实对称矩阵A，以下结论正确的是 （ ） （A）一定有n个不同的特征根；（B）存在正交矩阵P，使P'APP?AP成对角形； （C）它的特征根一定是整数；（D）属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交 4．设?是n维欧氏空间V的对称变换，则 （ ） （A）?只有一组n个两两正交的特征向量； （B）?的特征向量彼此正交； （C）?有n个两两正交的特征向量；
（D）?有n个两两正交的特征向量??有n个不同的特征根。
5．??(a1,a2,L,an)，??(b1,b2,L,bn)，定义：(?,?)?k1a1b1?k2a2b2?L?knanbn，则满足下列何中情况可使R作成欧氏空间 （ ） （A）k1?k2?L?kn?0； （B）k1,k2,L,kn是全不为零的实数； （C）k1,k2,L,kn都是大于零的实数； （D）k1,k2,L,kn全是不小于零的实数
6．??(a1,a2,a3)，??(b1,b2,b3)，M为三阶实方阵，定义(?,?)??M?'，下列可使定义作为R的内积的矩阵是 （ ）
3
n?0?12??11?1?????（A）M??31?3?； （B）M??310?；
?120??102??????200??702?????（C）M??010?； （D）M??041?.
?003??213??????100???7．若欧氏空间R3的线性变换?关于R3的一个标准正交基矩阵为A??000?，则下
?00?1???列正确的是 （ ） （A）?是对称变换； （B）?是对称变换且是正交变换； （C）?不是对称变换； （D）?是正交变换。
8．若?是n维欧氏空间V的一个对称变换，则下列成立的选项是 （ ） （A）?关于V的仅一个标准正交基的矩阵是对称矩阵； （B）?关于V的任意基的矩阵都是对称矩阵； （C）?关于V的任意标准正交基的矩阵都是对称矩阵； （D）?关于V的非标准正交基的矩阵一定不是对称矩阵。
9．若?是n维欧氏空间V的对称变换，则有 （ ） （A）?一定有n个两两不等的特征根； （B）?一定有n个特征根（重根按重数算）； （C）?的特征根的个数?n； （D）?无特征根。 10．?????a1?a3a2??b1b2?2?22?2,??????R，如下定义实数(?,?)中做成R内积的是（） a4??b3b4?（A）(?,?)?a1b1； （B）(?,?)?a1b1?a2b2?a3b3?a4b4； （C）(?,?)?a1a3?a4b4； （D）(?,?)?a1b1?2a2b2?3a3b3?4a4b4. 11. 若线性变换?与?是（ ），则?的象与核都是?的不变子空间。
A.互逆的 B. 可交换的 C. 不等的 D. 不可换的
12. 设V是n维欧氏空间，那么V中的元素具有如下性质（ ）
A.若(?,?)?(?,?)????； B.若???????；
C.若(?,?)?1???1； D.若(???,???)?0?|?|?|?|。
13. 欧氏空间R中的标准正交基是（ ）
3
A.(11111111,0,)；(,0,?)；(0,1,0)； B.(,,0)；(,?,0)；(0,0,1)
22222222111111,,)；(,?,)；(0,0,0)； D. (1,?1,1)；(?1,1,1)；(1,1,?1)。 333333C.(14. 设?是欧氏空间V的线性变换，那么?是正交变换的必要非充分条件是（ ）
A.?保持非零向量的夹角； B.?保持内积；